Extremum

L'expression «élément extremum» veut dire «élément maximum» ou «élément minimum».

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Analyse - Théorie des ordres

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Un extrémum est soit un minimum soit un maximum. Pour n=1, cette définition devient : X est un maximum local de f (resp. minimum) si et uniquement si il ... (source : epiphys.emn)
Démontrer que le point A (—, —) est un extremum ; est -ce un maximum ou un minimum?... c) Si une fonction de classe C1 admet un extremum local en un point, ses dérivées..... la recherche dichotomique d'un élément dans une liste ordonnée.... (source : yopdf)
Si f admet une extremum local en x0 et si f est dérivable en x0, alors f (x0) =0. Démonstration. On suppose que l'extremum est un maximum. Soit α > 0 tel que ]x0 −α, ... b] et f = 0 sur ]a, b[, par conséquent tout élément c de ]a, b[ convient.... (source : scolamath.free)

L'expression «élément extremum» veut dire «élément maximum» ou «élément minimum».

Dans un ensemble ordonné, le plus grand élément (resp. plus petit élément) ou élément maximum (resp. élément minimum) d'une partie de cet ensemble est l'élément qui, lorsqu'il existe, appartient à cette partie et est supérieur (resp. inférieur) à tous autres éléments de la partie.

Propriétés

Le plus grand (resp. plus petit) élément d'une partie est par conséquent surtout :

un élément maximal (resp. élément minimal) de la partie
un majorant (resp. minorant) de la partie
la limite supérieure (resp. limite inférieure) de la partie

... mais les réciproques sont fausses. On peut néanmoins énoncer les théorèmes suivants :

Si une partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors il n'y a qu'un seul élément maximal (resp. minimal) et c'est le plus grand élément (resp. plus petit élément) de la partie.
Si une partie admet un majorant (resp. minorant) qui appartient à cette partie, alors la partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément) qui est exactement ce majorant (resp. minorant).

Exemple

Prenons pour ensemble ordonné E la totalité des intervalles réels ordonnés par la relation d'inclusion.
Choisissons comme partie P à étudier, la totalité des intervalles inclus dans $[-1; 0 [\cup]0 ; 1]$ .
Tout élément de P inclut la totalité vide, par conséquent la totalité vide est un minorant de P. Or la totalité vide est élément de P, c'est par conséquent aussi sa limite inférieure et son plus petit élément.
Tout élément de P est inclus dans l'intervalle [-1 ; 1] qui est élément de E mais pas de P. Par conséquent [-1 ; 1] est un majorant de P, mais pas son plus grand élément. Malgré tout, c'est son plus petit majorant, par conséquent sa limite supérieure.
Il n'existe aucun élément de P qui soit supérieur à ]0 ; 1]. ]0 ; 1] est par conséquent un élément maximal de P. Mais il existe des éléments de P qui ne lui sont pas semblables, par exemple [1/2 ; 3/2]. Par conséquent ]0 ; 1] n'est pas le plus grand élément de P. Et pour cause, il existe un autre élément maximal différent : [-1 ; 0[, par conséquent P n'a pas de plus grand élément !

Extremum d'une fonction

Soient (F, ≤) un ensemble complètement ordonné et f une fonction de l'ensemble E vers la totalité F.

Notons D, l'ensemble de définition de f et soit a un élément quelconque de D.

On rappelle que si A est une partie de D ou D lui-même, alors la notation f (A) sert à désigner l'image de A par la fonction f.

Extremum global d'une fonction

Un «extremum global de f» est un «maximum global de f» ou un «minimum global de f».

Maximum global

On dit que f (a) est le «maximum» ou le «maximum global» de f si et uniquement si pour tout élément x de D, on a f (x) ≤ f (a) .

Cela équivaut à dire que f (a) est le plus grand élément de f (D) .

Minimum global

On dit que f (a) est le «minimum» ou le «minimum global» de f si et uniquement si pour tout élément x de D, on a f (a) ≤ f (x) .

Cela équivaut à dire que f (a) est le plus petit élément de f (D) .

Extremum local d'une fonction

La notion d'extremum local suppose définie sur D une structure topologique (donnant un sens précis à l'adjectif local). Par conséquent, un «extremum local de f sur D» est un «maximum local de f sur D» ou un «minimum local de f sur D».

Maximum local

Soit D un espace topologique. Étant donné un point a de D, on dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f (a) ≥ f (x) .
On dit tandis que f (a) est un «maximum local» de f sur D.

Minimum local

Soit D un espace topologique. Étant donné un point a de D, on dit que f atteint en a un minimum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f (a) ≤ f (x) .
On dit tandis que f (a) est un «minimum local» de f sur D.

Méthodes usuelles de recherche des extremums d'une fonction

La notion d'extremum d'une fonction est en particulier intéressante en analyse quand l'ensemble d'arrivée F est la totalité complètement ordonné $\R$ des nombres réels. Dans ce cas, le calcul différentiel est un moyen efficace de recherche des extremums locaux.

On cite ici quelques méthodes principales, en se limitant aux fonctions à valeurs réelles d'une ou plusieurs variables réelles.

Cas des fonctions réelles d'une variable réelle

Soit une fonction $f : I \to\R$ , où I est un intervalle de $\R$ non réduit à un point. Un point est intérieur à I si et uniquement si c'est un élément de I qui n'est pas une limite de l'intervalle.

Existence d'extremums globaux (théorème des limites) :

si I est fermé borné et si f est continue, alors f admet sur I un maximum global et un minimum global.

Condition indispensable pour un extremum local :

si f atteint un extremum local en un point

a

intérieur à I et si elle est dérivable en ce point, alors $\ f\,'(a) = 0$ .

Pour cette raison, l'étude des extremums passe fréquemment par la recherche des points d'annulation de la dérivée, nommés points critiques de f. Un point critique n'est pas obligatoirement un extremum, comme le montre l'exemple de la fonction

$f : \R \to\R,\, x \mapsto xˆ3$

au point 0. On peut, cependant, sous certaines hypothèses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un extremum.

Condition suffisante pour un extremum local :

Si f est dérivable sur I, et si

a

est un point intérieur à I où la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en

a

. Plus exactement, en supposant $\ f\,'(a) = 0$ :

S'il existe

α

réel strictement positif tel que $[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I$

et $f\,' \geq 0$ sur $[a-\alpha,\, a]$ , $f\,' \leq 0$ sur $[a,\, a + \alpha]$ ,

alors f atteint un maximum local en

a

S'il existe

α

réel strictement positif tel que $[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I$

et $f\,' \leq 0$ sur $[a-\alpha,\, a]$ , $f\,' \geq 0$ sur $[a,\, a + \alpha]$ ,

alors f atteint un minimum local en

a

Remarque

La condition indispensable pour un extremum local ne s'applique pas aux limites de l'intervalle. A titre d'exemple, la fonction

$f : [0, 1] \to\R,\, x \mapsto x$

admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1. D'autre part, elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule en aucun point.

Cas des fonctions réelles de plusieurs variables réelles

Soit une fonction $f : A \to\R, x = (x_1,\, \dots,\, x_n) \mapsto f(x) = f(x_1,\, \dots,\, x_n)$ , où A est une partie non vide de $\Rˆn$ .

Existence d'extremums globaux (théorème des limites) :

si A est fermé borné et si f est continue, alors f admet sur A un maximum global et un minimum global.

Condition indispensable pour un extremum local :

On suppose ici que A est un ouvert, et que f est de classe

C 1

sur A.

Si f atteint un extremum local en un point

a

de A, alors $\nabla f(a) = 0$ : le gradient de f en ce point est nul.

Rappel : par définition, le gradient de f en

a

est le vecteur de $\Rˆn$ : $\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\, \dots,\, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$ .

Les points d'annulation du gradient portent le nom de points critiques de la fonction f.

Condition suffisante pour un extremum local :

On suppose ici que A est un ouvert, et que f est de classe

C 2

sur A.

On considère un point

a

de A. La (matrice) hessienne de f en

a

est notée $\nablaˆ2 f(a)$ ; elle est symétrique réelle.

Si $\nabla f(a) = 0$ et si $\nablaˆ2 f(a)$ est définie négative, alors f atteint un maximum local en

a

Si $\nabla f(a) = 0$ et si $\nablaˆ2 f(a)$ est définie positive, alors f atteint un minimum local en

a

Rappel : par définition, la hessienne de f en

a

est la matrice carrée d'ordre n ayant $\frac{\partialˆ2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a)$ pour élément en ligne i et colonne j.

Comme f est de classe

C 2

, il résulte du théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre 2 que la hessienne est symétrique.

Fonction optimum de deux fonctions

Les fonctions minimum et maximum de deux fonctions peuvent être définies à l'aides de valeurs absolues :

$\operatorname{min} \left(f,g \right)=\frac{f+g-|f-g|}{2}$

$\operatorname{max} \left(f,g \right)=\frac{f+g+|f-g|}{2}$

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