Exponentielle

Les fonctions exponentielles font partie des applications principales en analyse, ou d'une façon plus générale en mathématiques et dans ses domaines d'applications.

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Nombre complexe - Exponentielle - Fonction hypergéométrique - Fonction remarquable - Groupe de Lie - Fonction de référence - Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Équations différentielles y'= ky. Fonctions exponentielles. Page 1. G. COSTANTINI http ://bacamaths. net/. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES y'= ky (k... (source : pagesperso-orange)

Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu)

Les fonctions exponentielles font partie des applications principales en analyse, ou d'une façon plus générale en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes des fonctions exponentielles réelles :

une application continue de $\R$ vers $\Rˆ*_+\$ qui transforme une somme en produit
La réciproque d'une fonction logarithme
La solution d'une certaine équation différentielle linéaire d'ordre un,
La somme d'une série entière.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition des fonctions exponentielles à des fonctions de C vers C^* ou même des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, .... mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

De la puissance à l'exponentielle

On considère un réel a strictement positif, il est facile de définir $a n$ comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

$\exp_a(n) = aˆn = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

puis de définir $a 0 = 1$ et $aˆ{-n} = \frac{1}{aˆn}$ . On démontre facilement la propriété $aˆ{n+m}=aˆn \times aˆm$ . Cette construction, assez naturelle, permet l'observation de phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.

Article détaillé : suite géométrique.

Exemple 1 : Imaginons une population dont la taille augmente de 30% l'ensemble des 10 ans. Si on note la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920, ... qui sera de, puis... pour aboutir au bout de n décennies à (si le modèle est toujours valide au bout de n décennies). Il est même envisageable de déterminer la population en 1890, 1880 qui sera de,....
Exemple 2 : Le carbone 14 a une décroissance radioactive de période ans ce qui veut dire que l'ensemble des ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si on mesure, à un instant donné, le nombre de particules radioactives, au bout de n périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de.

La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit par conséquent de combler les trous entre les entiers. Une tentative peut être faite grâce à la racine nième : si la population a été multipliée en 10 ans par 1, 3, on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel q tel que, c'est-à-dire qu'on note.

On est par conséquent capable de définir pour des exposants non entiers :

$\exp_a(1/q)=aˆ{1/q} = \sqrt[q] a$

$\exp_a(p/q)=aˆ{p/q} = (\sqrt[q] a)ˆp$ .

On a ainsi comblé les trous et défini pour tout r rationnel. Pour définir pour tout réel x, il faut ajouter un argument de continuité, tout réel est aussi proche qu'on veut d'un rationnel, la valeur de sera alors proche de.

Cette idée intuitive de ce que pourrait être apparaît particulièrement tôt — en même temps que la notation exponentielle, c'est-à-dire dès le XVII^e siècle ^[1]. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en :

une fonction ;
vérifiant, c'est-à-dire transformant une somme en produit ;
continue ;
réciproque de la fonction logarithme (qui transforme un produit en somme),
dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Par la suite se développe l'étude plus spécifique de l'exponentielle de base e, réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même ; c'est-à-dire que $exp'= exp$ . C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle qu'on se réfère le plus souvent si on n'en précise pas une autre.

Les propriétés de la dérivée de la fonction exponentielle en font un outil privilégié pour la résolution des équations différentielles.

Fonctions exponentielles réelles

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée envisageable pour la définition de la fonction exponentielle : par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit), par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction) ou par son développement en série

Par la propriété algébrique

Définition — On nomme fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de R dans R^* transformant une somme en produit, c'est-à-dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)$ .

Si on note a la valeur de f (1). La fonction f est nommée exponentielle de base a et se note $exp a$

Une telle fonction est nommée un morphisme continu du groupe additif (R, +) dans le groupe multiplicatif (R^*, ×).

On remarque que la relation

$f(u)=f\left(2\frac u2\right) =\left[ f\left(\frac u2\right)\right]ˆ2$

assure que la fonction est toujours à valeurs dans la totalité des réels strictement positifs

Puis la relation

$f(u)=f(u+0)=f(u)\times f(0)$

donne pour seule valeur envisageable pour $f (0)$ la valeur 1 car $f (u)$ ne peut être nul.

Si on note $f (1) = a$ , des considérations analogues à celles développées dans la section précédente permettent d'écrire successivement

f (n) = a n = exp a (n)

, pour tout n entier naturel puis relatif,

$f\left(\frac 1q\right) = \sqrt[q]a = \exp_a\left(\frac 1q\right)$ , pour tout q entier naturel non nul

$f\left(\frac pq\right) = \sqrt[q]aˆp=\exp_a\left(\frac pq\right)$

La valeur de f (x) pour x irrationnel s'obtient par prolongement par continuité.

L'existence d'une telle fonction provient de la possibilité de prolonger par continuité une fonction définie sur Q à une fonction définie sur R en conservant ses propriétés algébriques. La construction prouve l'unicité de la fonction vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)\qquad f(1)=a$ .

On prouve qu'alors f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

$f'(x)=f'(0)\cdot f(x)\qquad f(0)=1$ .

Démonstration

Pour démontrer qu'une fonction continue transformant une somme en produit est obligatoirement dérivable, on peut s'appuyer sur le fait qu'une fonction continue possède des primitives. Si on note F une primitive de f, on peut écrire

$\int_0ˆ1f(x)\cdot f(t)dt = f(x)\int_0ˆ1f(t)dt =f(x)\cdot (F(1)-F(0))$

mais également

$\int_0ˆ1f(x)\cdot f(t)dt = \int_0ˆ1f(x+t)dt = F(x+1) - F(x)$

la fonction f étant une fonction strictement positive, F est strictement croissante et F (1) - F (0) est alors non nul. En confrontant les deux égalités, on peut écrire

$f(x) = \frac{F(x+1)-F(x)}{F(1)-F(0)}$

Ce qui prouve que, f s'exprimant comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, f est dérivable.

En dérivant l'égalité

$f(x+u) = f(x)\cdot f(u)$

comparé à x, on obtient

$f'(x+u)=f'(x)\cdot f(u)$

puis en prenant x égal à 0

$f'(u)=f'(0)\cdot f(u)$

On prouve aussi que la continuité de la fonction en un seul point associée à la propriété algébrique assure sa continuité sur tout R.

Par une équation différentielle

Définition — On nomme fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle

$f'=kf \qquad f(0) = 1$

où k est un réel quelconque.

Une telle équation définit f de manière unique, k correspond alors à la valeur de la dérivée de f en 0. On montre qu'une telle fonction transforme toujours une somme en produit; Par conséquent que les deux définitions coïncident.

Démonstration

En supposant admise l'existence d'une fonction g vérifiant

$\forall x \in \mathbb R : g'(x)=g(x) \qquad g(0)=1$

que on peut construire grâce à la méthode d'Euler, on montre que g ne peut pas s'annuler, que $f:x\mapsto g(kx)$ est solution de l'équation différentielle et que c'est l'unique.

la fonction g ne peut pas s'annuler

On pose $u(x)=g(x)\cdot g(-x)$ et on dérive

$u'(x)=g'(x)\cdot g(-x)-g(x)g'(-x) = g(x)\cdot g(-x)-g(x)\cdot g(-x)=0$

la fonction u est par conséquent constante. l'égalité

$u(0)=g(0)\cdot g(0)=1$

assure que cette constante est non nulle, par conséquent aucun des termes du produit n'est nul. g (x) ne s'annule pas.

La fonction f est solution de l'équation différentielle

f (x) = g (k x)

donc

$f'(x)=k\cdot g'(kx) = k\cdot g(kx)=k\cdot f(x)$

$f(0)=g(k\cdot 0)=g(0)=1$

la fonction est l'unique solution au problème

On suppose qu'il existe une autre fonction

f 1

solution de l'équation et on étudie $h_1=\frac {f_1}{f}$

$h_1'=\dfrac{f_1'f-f_1f'}{fˆ2}=\dfrac{kf_1f-f_1kf}{fˆ2}=0$

La fonction

h 1

est par conséquent constante

$h_1(0)=\frac{f_1(0)}{f(0)}=1$

La fonction est par conséquent constante égale à 1, ce qui assure que

f 1 = f

La propriété algébrique est conservée

On pose

f 2 (x) = f (x + u)

et on dérive

$f_2'(x)=f'(x+u)=k\cdot f(x+u)=k\cdot f_2(x)$

On pose alors $h_2=\frac {f_2}{f}$ et par un raisonnement analogue, on montre que

h 2

est constante

$h_2(0)=\frac{f_2(0)}{f(0)}=f(u)$

donc $\frac{f(x+u)}{f(x)}=f(u)$ soit toujours $f(x+u)=f(x)\cdot f(u)$ .

En particulier, on nomme fonction exponentielle (de base e) la fonction solution de

$g'=g \qquad g(0) = 1$

et on note

$g(x) = \exp(x)\,$

Elle permet de exprimer l'ensemble des autres. En efffet si est solution de l'équation différentielle d'origine alors

$f(x)=\exp(kx)\,$

On peut se contenter d'étudier essentiellement celle-ci.

Par une série

La fonction exponentielle et son approximation par les premiers termes de la série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle $exp$ ou encore $x\mapsto eˆx$ comme la somme d'une série entière de rayon de convergence illimité :

$\exp(x) = \sum_{n = 0}ˆ{+\infty} {xˆn \over n!}$ ,

où $n!$ est la factorielle de $n$ .

Comment trouver cette série ?

Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :

$f(x)=\sum_{n=0}ˆ{+\infty}a_nxˆn$ , avec a₀=1.

La dérivée est donnée par :

$f'(x)=\sum_{n=1}ˆ{+\infty}n\cdot a_nxˆ{n-1}$ .

De fait, l'équation f' (x) =f (x) s'écrit, par unicité des cœfficients dans le développement en séries entières :

$a_n=(n+1)\cdot a_{n+1}$ .

Par une récurrence immédiate, on établit :

$a_n=\frac{1}{n!}$ .

Il existe de nombreux développements en fraction continue de la fonction exponentielle. On peut citer l'exemple suivant :

$\exp(x) = 1 + \frac{x\mid}{\mid 1} - \frac{\frac 12 x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots$

Une analyse détaillée des expressions de cette nature est proposée dans l'article Approximant de Padé de la fonction exponentielle.

Cas de la fonction exponentielle de base e

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans $\R$

La fonction $exp$ étant définie comme l'unique fonction égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. On peut en étudier les caractéristiques.

La fonction $exp$ prend en 1 une valeur irrationnelle qui est noté e et vaut à peu près 2, 718. Elle est par conséquent aussi nommé fonction exponentielle de base e.

Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions données, si x est réel, alors exp (x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de $\R$ dans $\R_+ˆ*$ est strictement croissante, continue, continûment dérivable, illimitément dérivable, et toujours mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point).

De plus,

$\lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0$

$\lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty$ ,

elle admet par conséquent une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur $\R_+ˆ*$ .

La fonction $exp$ tend par conséquent vers + ∞ lorsque sa variable tend vers + ∞ et ce plus rapidement que toute fonction polynôme, c'est-à-dire que

$\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{xˆn}=+\infty$

quel que soit l'entier naturel n. De même on a

$\lim_{x\to -\infty}xˆn\exp(x)=0$

Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Par conséquent exp est convexe.

La tangente à la courbe au point d'abscisse $x 0$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x 0 - 1$ . La fonction $exp$ est l'unique fonction prenant la valeur 1 en 0 dont la sous-tangente est toujours le segment $[x 0 - 1; x 0]$ .

Propriétés

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout $a > 0$ la fonction exponentielle de base a notée $exp a$ ou $x\mapsto aˆx$ , par :

$\forall x,\ aˆx = \exp(\ln(a) x) = eˆ{x\ln(a)}$ .

Les fonctions exponentielles «transforment une somme en un produit», on en déduit les propriétés :

a 0 = 1

a 1 = a

$aˆ{x + y} = aˆx\cdot aˆy$

$aˆ{x y} = \left( aˆx \right)ˆy$

$\frac1{aˆx} = \left(\frac1a \right)ˆx = aˆ{-x}$

$aˆx\cdot bˆx = (a b)ˆx$

$\sqrt[n]{a} = aˆ{1/n}$

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective.

Lorsque a ≠ 1, la fonction exponentielle est une bijection de $\R$ sur $\R_+ˆ*$ ; strictement croissante si a>1 et strictement décroissant si a<1 dont la réciproque est la fonction logarithme de base a

Généralisation des fonctions exponentielles à d'autres ensembles

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Définitions

On peut définir la fonction complexe de deux façons :

En utilisant la propriété :

$exp (i x) = cos (x) + i sin (x)$ ,

on écrit ;

$\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
En utilisant le développement en série de l'exponentielle qui permet d'étendre celle-ci au plan complexe.

$\exp(z) = \sum_{n = 0}ˆ{\infty} {zˆn \over n!}$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :

exp (z + w) = exp (z) exp (w)

exp (0) = 1

$\exp(z) \ne 0$

$\exp '(z) = \exp(z)\!$

Ces formules se montrent avec formules de trigonométrie ou avec la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire $2 i π$ et vérifie :

La fonction exponentielle complexe s'exprime par conséquent avec la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques. Sa périodicité empêche la création d'une réciproque, c'est pourquoi prolonger le logarithme naturel à la totalité des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme, nommée logarithme complexe.

L'exponentielle plus générale :

pour tous nombres complexes z et w, $zˆw = \exp(w\cdot \ln(z))$

est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Représentations

Si on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions,, et

Surfaces représentant la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument principal de l'exponentielle complexe

Courbe de densité représentant la partie réelle et la partie imaginaire de l'exponentielle complexe

Pour d'autres représentations de l'exponentielle à base e, se référer à l'article en anglais de wikimedia commons.

Fonctions exponentielles dans d'autres espaces

La définition de l'exponentielle comme série entière sert à définir l'exponentielle d'une matrice carrée comme

$\exp(M)=eˆM=\sum_{k=0}ˆ\infty{ 1\over k!}Mˆk.$

Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles ordinaires.

Article détaillé : exponentielle de matrice.

La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif sert à définir une fonction exponentielle de R vers tout groupe topologique; D'une façon plus générale, pour un groupe topologique G, on nomme sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu R→G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.

Article détaillé : sous-groupe à un paramètre.

La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes

Article détaillé : application exponentielle.

La définition de l'exponentielle comme série entière sert à la définir sur des algèbres de Banach.

Article détaillé : algèbre de Banach.

Applications

Fonction trigonométrique

Article détaillé : Fonction trigonométrique.

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que on démontre à partir de la définition $exp (i z) = cos (z) + i sin (z)$ ) nous donnent un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

$\cos x = {eˆ{ix} + eˆ{-ix} \over 2}$

$\sin x = {eˆ{ix} - eˆ{-ix} \over 2i}$

Ces formules permettent de retrouver la majorité des formules trigonométriques, surtout

$\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ∼$

$\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ∼$

à partir desquelles on peut retrouver presque l'ensemble des autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.

$\cosˆ{n} x = \left(\frac{eˆ{ix}+eˆ{-ix}}{2}\right)ˆ{n}$

$\sinˆ{n} x= \left(\frac{eˆ{ix}-eˆ{-ix}}{2i}\right)ˆ{n}$

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

e i (n - k) x e - i k x = e i (n - 2 k) x

e i m x + e - i m x = 2cos (m x)

e i m x - e - i m x = 2 i sin (m x)

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité lorsque on veut démontrer la formule de Moivre.

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

A partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

Théorie de Fourier

Article détaillé : Théorie de Fourier.

Les fonctions exponentielles où t est un réel sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.

Équation différentielle linéaire

Article détaillé : équation différentielle linéaire.

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

(λ e a x) '= a λ e a x

ou plus précisément, on a $\varphi : x\mapsto \lambda eˆ{ax}$ si et uniquement si

$\varphi' = a \varphi$ et $\varphi(0) = \lambda$

Si une grandeur croît ou décroît, selon le temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

y'= y

et on la rencontre souvent dans les solutions d'équations différentielles. Surtout, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites avec fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Croissance des groupes

Article détaillé : Croissance des groupes.

Notes et références

↑ Gottfried Wilhelm von Leibniz n'hésite pas à utiliser la notation sans avoir une idée claire de ce que vaudrait

Voir aussi

Logarithme
Équation différentielle
Trigonométrie
Exponentielle d'une matrice

Nombre e
Fonction exponentielle étirée
Fonction exponentielle double
Croissance et décroissance exponentielle

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