Équivalence logique

En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies, dans précisément les mêmes situations.



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Logique mathématique

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En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans précisément les mêmes situations. On écrit

P \Leftrightarrow Q

Qui se lit :

«P est vraie si et uniquement si Q est vraie»

«\Leftrightarrow» est le connecteur d'équivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :

P Q P ⇔ Q
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Faux
Faux Faux Vrai

L'équivalence P ⇔ Q n'est autre que (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ( (P implique Q) et (Q implique P) ).

En logique intuitionniste, deux propositions P et Q sont équivalentes si et uniquement si on a une démonstration de Q à partir de P et une démonstration de P à partir de Q.

C'est à dire, dans les deux cas classique et intuitionniste, dire que deux propositions P et Q sont équivalentes revient à dire que chacune d'elles implique l'autre.

Dans ce cas, les propositions «P ⇒ Q» et «Q ⇒ P» sont dites réciproques l'une de l'autre.

Pour démontrer, une équivalence P ⇔ Q, il faut par conséquent démontrer l'implication P ⇒ Q et sa réciproque.

Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :

D'autres expressions «ou encore», «ou» (mais pas le connecteur logique ou), «soit» peuvent traduire une équivalence comme dans l'exemple suivant :

Pour tout réel x, x2=x équivaut à x2-x=0 soit x (x-1) =0 ou encore ( (x=0) ou (x=1) )

Ici, «soit» (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier «ou» est un ou logique (OR).

ssi ( (en) iff) est une abréviation de «si et uniquement si» fréquemment utilisée pour écrire des équivalences.

Propriétés

Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence

Exemples

\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)ˆn=(x-1)ˆn\Leftrightarrow \frac{(x+1)ˆn}{(x-1)ˆn}=1
\forall x\in [-1, +\infty[, x-1\geq \sqrt{x+1} \Leftrightarrow ((x-1)ˆ2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0) (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd l'information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l'équivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.

Remarques :

Démontrer par équivalence n'est pas forcément simple ; occasionnellemen, il est préférable de démontrer scindément les implications réciproques.

Dire que l'équivalence P ⇔ Q est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si l'une d'entre elles est vraie (resp. fausse), l'autre aussi.

Équivalence entre plusieurs propositions

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les équivalences P ⇔ Q ⇔ R, il suffit de démontrer les implications :

P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P.

Soient les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.

Pour démontrer que Q ⇒ P, on utilise Q ⇒ R et R ⇒ P.

Pour démontrer que R ⇒ Q, on utilise R ⇒ P et P ⇒ Q.

Et enfin pour démontrer que P ⇒ R, on utilise P ⇒ Q et Q ⇒ R.

Ce type de démonstration se nomme une démonstration «circulaire» ou «en cercle».

On peut généraliser à n propositions P1, P2… Pn.

Pour démontrer les équivalences P1 ⇔ P2 ⇔… ⇔ Pn, il suffit de démontrer les implications :

P1 ⇒ P2, P2 ⇒ P3… Pn-1 ⇒ Pn et Pn ⇒ P1.

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