Équivalence logique

En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies, dans précisément les mêmes situations.

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Logique mathématique

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En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans précisément les mêmes situations. On écrit

$P \Leftrightarrow Q$

Qui se lit :

«P est vraie si et uniquement si Q est vraie»

« $\Leftrightarrow$ » est le connecteur d'équivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :

P	Q	P ⇔ Q
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Vrai

L'équivalence P ⇔ Q n'est autre que (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ( (P implique Q) et (Q implique P) ).

En logique intuitionniste, deux propositions P et Q sont équivalentes si et uniquement si on a une démonstration de Q à partir de P et une démonstration de P à partir de Q.

C'est à dire, dans les deux cas classique et intuitionniste, dire que deux propositions P et Q sont équivalentes revient à dire que chacune d'elles implique l'autre.

Dans ce cas, les propositions «P ⇒ Q» et «Q ⇒ P» sont dites réciproques l'une de l'autre.

Pour démontrer, une équivalence P ⇔ Q, il faut par conséquent démontrer l'implication P ⇒ Q et sa réciproque.

Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :

P est vraie si et uniquement si Q est vraie.
Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie.
Une condition indispensable et suffisante pour que P soit vraie est que Q soit vraie (ou cns).
La vérité de P est une condition indispensable et suffisante pour que Q soit vraie.
P équivaut à Q.

D'autres expressions «ou encore», «ou» (mais pas le connecteur logique ou), «soit» peuvent traduire une équivalence comme dans l'exemple suivant :

Pour tout réel x, x²=x équivaut à x²-x=0 soit x (x-1) =0 ou encore ( (x=0) ou (x=1) )

Ici, «soit» (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier «ou» est un ou logique (OR).

ssi ( (en) iff) est une abréviation de «si et uniquement si» fréquemment utilisée pour écrire des équivalences.

Propriétés

P ⇔ P (l'équivalence est réflexive)
(P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (l'équivalence est symétrique)
(P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R) ⇒ (P ⇔ R) (l'équivalence est transitive)

Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence

¬¬P ⇔ P (Dans la logique classique, ceci équivaut au principe du tiers exclu)
(P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (contraposition)

Exemples

On a

$\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)ˆn=(x-1)ˆn\Leftrightarrow \frac{(x+1)ˆn}{(x-1)ˆn}=1$

L'équivalence ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x²=y²) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 2²= (-2) ² n'implique pas 2=-2
L'équivalence suivante est vraie

$\forall x\in [-1, +\infty[, x-1\geq \sqrt{x+1} \Leftrightarrow ((x-1)ˆ2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)$ (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd l'information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l'équivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.

Remarques :

Démontrer par équivalence n'est pas forcément simple ; occasionnellemen, il est préférable de démontrer scindément les implications réciproques.

Dire que l'équivalence P ⇔ Q est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si l'une d'entre elles est vraie (resp. fausse), l'autre aussi.

Équivalence entre plusieurs propositions

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les équivalences P ⇔ Q ⇔ R, il suffit de démontrer les implications :

P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P.

Soient les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.

Pour démontrer que Q ⇒ P, on utilise Q ⇒ R et R ⇒ P.

Pour démontrer que R ⇒ Q, on utilise R ⇒ P et P ⇒ Q.

Et enfin pour démontrer que P ⇒ R, on utilise P ⇒ Q et Q ⇒ R.

Ce type de démonstration se nomme une démonstration «circulaire» ou «en cercle».

On peut généraliser à n propositions P₁, P₂… P_n.

Pour démontrer les équivalences P₁ ⇔ P₂ ⇔… ⇔ P_n, il suffit de démontrer les implications :

P₁ ⇒ P₂, P₂ ⇒ P₃… P_n-1 ⇒ P_n et P_n ⇒ P₁.

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