Équation produit-nul

En mathématiques, une équation produit-nul est une équation dont ...



Catégories :

Équation - Zéro - Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Une équation produit nul de facteurs du premier degré (ou plus simplement une équation produit nul) est une équation dont le premier membre est un produit... (source : pagesperso-orange)
  • ÉQUATIONS PRODUITS. Définition : Une équation produit nul est une équation de la forme A×B=0 où les facteurs A et . B sont des expressions contenant... (source : sd-1.archive-host)
  • une equation produit nul est une equation dont le premier membre est un produit de facteurs du 1er degré et le 2eme membre est zéro (cette... (source : ilemaths)

En mathématiques, une équation produit-nul est une équation dont :

On résout le plus souvent ce type d'équation en s'appuyant sur le théorème suivant :

Théorème — Un produit est nul si et uniquement si l'un de ses facteurs est nul.

Exemple

Soit à résoudre dans la totalité des nombres réels l'équation d'inconnue x : x ² = 9.

On voit que cette équation est équivalente à x ² - 9 = 0; qui se factorise en (x+3) (x-3)  = 0. Ce dernier produit est nul si et uniquement si l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si et uniquement si x = 3 ou x = -3.

Donc un réel x vérifie x ² = 9 si et uniquement si x = 3 ou x = -3. L'équation est résolue.

Le principe

Le principe d'une équation produit-nul est de passer de la résolution d'une équation «compliquée» à celle de plusieurs équations, plus simples. Si A, B, C et D sont des fonctions d'une variable x, l'équation A. B. C. D = 0 est équivalente au dispositif : A =0 ou B =0 ou C =0 ou D =0.

Le théorème cité ci-dessus est valable quand la totalité est un anneau intègre. A titre d'exemple, il n'est pas valable dans Z/14Z. Dans cet anneau, le produit [2]×[7] est égal à [0] sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Seule la propriété suivante est valable, dans un anneau non intègre, sans sa réciproque :

Propriété — Si un nombre est nul, alors tout produit de ce nombre est nul.

En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau (A, +, . ), le produit a. 0 = a. (0 +0). Par la distributivité de la loi. sur la loi +, a. (0 + 0) = a. 0 + a. 0. Donc, a. 0 = a. 0 + a. 0. Comme (A, +) est un groupe, l'élément a. 0 admet un inverse et il est envisageable de simplifier cette égalité par a. 0. D'où a. 0 = 0.

Dans un anneau, l'élément neutre de la première loi est ainsi l'élément absorbant de la seconde.

Également, dans Z/6Z, le produit de la classe de 2 et de la classe de 3 est nul. Le théorème cité en introduction se rédige ainsi, pour être idéalement rigoureux :

Théorème — Dans un anneau intègre, le produit d'un nombre fini de facteurs est nul si et uniquement si l'un des facteurs est nul.

Plusieurs ensembles

Le théorème peut être étendu à un espace vectoriel : k \cdot u étant le produit d'un scalaire par un vecteur, on a k \cdot u = 0 si et uniquement si k = 0 ou u = 0.

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_produit-nul.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu