Équation diophantienne

Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation dont les cœfficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont aussi entières.



Catégories :

Équation diophantienne

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • En mathématiques, une équation diophantienne est une équation entre deux polynômes à ... théorème de Fermat établit qu'il n'existe pas de solution en nombre... (source : encyclopedie-enligne)
  • Une équation diophantienne est une équation algébrique pour laquelle on..... nombres dont pq est une réduite de leur fraction continue. Théorème 4.1. Soit... (source : math.unice)
  • Une équation diophantienne est une équation de la forme P (x, y, z, .... Un théorème de LAGRANGE. Tout nombre naturel est somme de quatre carrés... (source : users.skynet)
Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie.

Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation dont les cœfficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont aussi entières. Le terme est aussi utilisé pour les équations à cœfficients rationnels. Les questions de cette nature entrent dans une branche des mathématiques nommée arithmétique.

Si l'expression du problème posé est quelquefois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) , un mathématicien du XIXe siècle, disait des problèmes de cette nature : «Leur charme spécifique vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves[1]

Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait «des efforts exorbitants que lui a coûté la détermination d'un signe d'un radical dans la théorie des nombres ; bien d'autres choses ne l'ont pas retenu tout autant de jours que cette question l'a retenu d'années[2] Le dernier théorème de Fermat est un exemple archétypal, il est conjecturé par Pierre de Fermat (1601 - 1665) et résolu en 1994 par Andrew Wiles après 357 ans d'efforts de la part de nombreux mathématiciens.

L'intérêt de la résolution de questions de cette nature réside rarement dans l'établissement d'un théorème clé pour les mathématiques, la physique ou les applications industrielles, même s'il existe des contre exemples comme la cryptologie, qui fait grand usage du petit théorème de Fermat. Leur analyse amène le développement d'outils mathématiques puissants dont l'usage dépasse le cadre de l'arithmétique. Les formes quadratiques sont à cet égard exemplaires. La richesse et la beauté formelle des techniques issues de la résolution d'équations diophantiennes fait de l'arithmétique la branche reine des mathématiques pour David Hilbert[2].

Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante d'Alexandrie, un mathématicien vivant à une date incertaine, certainement autour du IIIe siècle. Il est l'auteur d'un traité, Arithmétiques, étudiant des questions de cette nature.

Arithmétique élémentaire

Si les questions diophantiennes deviennent rapidement complexes, il existe certaines exceptions résolubles avec un minimum d'outils théoriques et une démonstration courte et simple.

Identité de Bézout

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac propose une méthode de résolution de l'identité de Bézout.

Quelques techniques élémentaires permettent de résoudre une première famille d'équations diophantiennes[3]. Un exemple est donnée par l'équation linéaire du premier degré à deux indéterminées :

(a,b,c) \in \mathbb Zˆ3 \quad a\cdot x + b \cdot y = c \ ;

Cette équation porte le nom d'identité de Bézout, du nom du mathématicien qui a généralisé ce résultat aux polynômes[4]. Sa résolution n'utilise que la division euclidienne et l'algorithme d'Euclide. Cette identité possède un double statut. Elle correspond à une équation diophantienne et représente un des piliers soutenant l'édifice de l'arithmétique élémentaire. Le lemme d'Euclide se démontre avec cette identité et le théorème essentiel de l'arithmétique à l'aide du lemme d'Euclide. Le théorème essentiel sert à déterminer les propriétés des opérateurs plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple mais aussi celles des nombres premiers entre eux.

Théorème de Wilson

Article détaillé : Théorème de Wilson.

Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction factorielle :

 (x - 1)! + 1 = y\cdot x\;

Les seules valeurs de x différentes de un vérifiant cette équation sont les nombres premiers.

Triplet pythagoricien

Article détaillé : Triplet pythagoricien.

Le lemme d'Euclide sert à venir à bout de la recherche des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des triplets de nombres entiers (x, y, z) vérifiant l'équation :

xˆ2 + yˆ2 = zˆ2 \;

Ces mêmes techniques permettent de montrer que l'équation suivante, correspondant au dernier théorème de Fermat pour n égal à 4, n'a pas de solutions autres que celles qui vérifient x. y. z = 0. Cette équation diophantienne correspond à[5] :

xˆ4 + yˆ4 = zˆ4\;

Petit théorème de Fermat

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.
Pierre de Fermat est l'auteur de nombreuses découvertes sur les équations diophantiennes.

Pierre de Fermat consacre une large part de ses recherches mathématiques à la résolution de questions diophantiennes. Il découvre le petit théorème de Fermat qu'il exprime de la manière suivante : «Tout nombre premier mesure inévitablement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1...»[6]. En terme diophantien, il offre une réponse partielle à l'équation suivante, où a sert à désigner un entier et p un nombre premier :

 aˆx - 1 = y\cdot p \;

Le petit théorème de Fermat indique que p – 1 est une valeur envisageable pour x. Ce résultat possède de nombreuses applications. Il sert à construire des grands nombres premiers, comme ceux de Mersenne, correspondant à l'équation suivante où y est recherché parmi les nombres premiers :

2ˆx - 1 = y\;

Il est assez aisé de montrer que x est alors aussi un nombre premier. Cette question diophantienne sert à trouver les plus grands nombres premiers connus en 2008[7]. Fermat s'intéresse à une équation analogue, servant à construire d'autres nombres premiers portant désormais son nom. Ici y est toujours recherché dans les nombres premiers[8] :

2ˆ{2ˆx} + 1 = y \;

A cette occasion, Fermat commet l'unique conjecture fausse connue de lui. Il imagine que tout nombre de Fermat est premier : «Si je puis une fois tenir la raison principale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part»[9]. Presque un siècle s'écoule avant que Leonhard Euler (1707 - 1783) présente[10] un diviseur du cinquième nombre de Fermat. Il ne dévoile la construction de sa preuve[11] que quinze ans plus tard. Elle correspond précisément aux travaux de Fermat, ayant permis de démontrer[12] en 1640 la non primalité de deux nombres de Mersenne.

L'intérêt du petit théorème de Fermat ne se limite pas à l'étude de la primalité de nombres entiers. Il permet aussi de résoudre certaines équations, la suivante est un exemple où p sert à désigner un nombre premier[13] :

 xˆ2 - p\cdot y + 1 = 0 \;

Elle correspond à une étape de la résolution de l'équation suivante :

xˆ2 + yˆ2 = p\;

Si cette équation est résolue pour p premier, il devient assez aisé de la résoudre pour p un entier positif quelconque. La résolution de cette équation se fonde sur un résultat appelé théorème des deux carrés de Fermat et dont la première preuve connue est l'œuvre d'Euler[14]. Ce mathématicien généralise le petit théorème en apportant une réponse de même nature que celle de Fermat à l'équation suivante, ici a et b désignant deux entiers premiers entre eux :

 aˆx - 1 = y°\;

Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Euler.

Autres techniques

Joseph-Louis Lagrange introduit les formes quadratiques pour étudier des équations diophantiennes comme les généralisations du théorème des deux carrés de Fermat.

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) cherche à généraliser des équations diophantiennes déjà traitées dans des cas spécifiques. L'équation du théorème des deux carrés devient, si n sert à désigner un entier sans facteur carré et p un nombre premier :

(1) \quad xˆ2 + n\cdot yˆ2 = p\;

Pour cela, il étudie les formes quadratiques à deux variables, c'est-à-dire les fonctions φ qui à un couple (x, y) associe[15] :

\varphi (x,y) = a\cdot xˆ2 + b\cdot xy + c\cdot yˆ2 \quad \text{avec}\quad a,b,c \in \mathbb Z\;

Il cherche à savoir quelle forme linéaire est équivalente à quelle autre. Equivalente veut dire en termes modernes qu'un changement de base dans Z2 (Z sert à désigner la totalité des nombres entiers) sert à passer d'une forme à une autre. Cette démarche lui sert à résoudre l'équation (1) dans le cas où n est égal à 1, 2, 3 ou 5[16]. Le cas général reste hors de portée.

Une autre généralisation de cette équation est résolue avec cette méthode, elle consiste à trouver le plus petit nombre de carrés indispensable pour trouver au moins une solution pour tout entier positif. La réponse est 4, elle correspond à l'équation suivante :

xˆ2 + yˆ2 + zˆ2 + tˆ2 = n \quad \text{avec}\quad n \in \mathbb N\;

Le Théorème des quatre carrés de Lagrange affirme que pour toute valeur de n, cette équation admet une solution. Edward Waring (1736 - 1798) généralise la question sous le nom de problème de Waring qui s'exprime de la manière suivante. Combien faut-il de termes dans une somme de puissance kième pour obtenir l'ensemble des entiers positifs ?

L'équation (1), pour une valeur donnée de n, impose de résoudre pour la même valeur du paramètre n et pour p un nombre premier quelconque, l'équation :

(2) \quad xˆ2 - p\cdot y + n = 0\;

Pour chaque valeur de n, il est fréquemment assez simple de trouver la liste des nombres premiers admettant une solution pour l'équation (2) . L'expression de la solution générale est conjecturée par Euler[17], mais sa démonstration échappe aux arithméticiens du XVIIIe siècle[18].

Lagrange s'intéresse à une autre question, déjà soulevée par Fermat 150 ans plus tôt et par Diophante dans l'antiquité. Elle correspond à l'équation dite de Pell-Fermat. Si n est un entier sans facteur carré, elle s'écrit :

(3) \quad xˆ2  - n\cdot yˆ2 = m \;

Cette question est objet d'étude par les mathématiciens indiens si m est égal à 1. La méthode dite de chakravala sert à trouver les solutions[19] avec une grande efficacité. Bhāskara II (1114–1185 ?) l'utilise pour n égal à 61 et trouve la solution x = 1 766 319 049 et y = 226 153 980. Fermat redécouvre cette méthode et la démontre selon les critères de rigueur de l'époque. Lagrange trouve une autre méthode, fondée sur les fractions continues. Elle permet aussi de trouver une illimitété de solutions pour toutes valeurs de n, la démonstration du fait que l'ensemble des solutions sont bien atteintes pour m = +/-1 est enfin démontrée, le cas général reste néanmoins hors de portée[20].

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.
Carl Friedrich Gauss est à l'origine d'une approche structurelle d'étude d'équations diophantiennes. Ces méthodes portent désormais le nom d'arithmétique modulaire.

Si quelques cas spécifiques se traitent avec les méthodes élémentaires, par contre les solutions générales restent inabordables. Aucun des trois cas d'équations diophantiennes quadratique à deux indéterminées, n'est traité dans le cas général. Ils correspondent soit à une ellipse avec l'équation (1) du paragraphe précédent, soit à une parabole avec l'équation (2) , soit à une hyperbole avec l'équation (3) . Les méthodes de l'arithmétique élémentaire ne sont pas suffisament puissantes.

En 1801 Gauss propose l'usage d'une nouvelle approche[21] désormais nommée arithmétique modulaire. Elle consiste, en termes modernes, à user d'une démarche structurelle. Des ensembles sont pourvus d'opérations, une addition et quelquefois une multiplication. Les structures, c'est-à-dire la totalité et ses opérations sont étudiées dans un cadre général, permettant d'obtenir des théorèmes au vaste champ d'application. Cette démarche sert à simplifier les résolutions d'équations diophantiennes déjà connues, de résoudre des cas spécifiques nouveaux et même d'établir des solutions générales, par exemple pour l'équation (2) .

Groupe abélien fini

Article détaillé : groupe abélien fini.
Leopold Kronecker établit le théorème décrivant la structure d'un groupe abélien fini.

Il est envisageable de considérer le quotient de l'anneau Z par n Z, l'élément générique de cette structure est la classe de l'ensemble des entiers ayant même reste par la division euclidienne par n. Les éléments de cette structure s'additionnent et se multiplient. L'étude du quotient apporte une formulation plus simple de certaines équations diophantiennes. Le petit théorème de Fermat s'écrit, si p est un nombre premier et a un entier non nul[22] :

aˆ{p-1} \equiv 1 \mod p\;

Si n est un nombre premier, alors la totalité des éléments non nuls forment un groupe abélien non seulement fini, mais également cyclique. L'égalité précédente devient une conséquence directe du théorème de Lagrange sur les groupes. Si n n'est pas premier, la totalité des éléments inversibles de Z/n Z* forme toujours un groupe abélien fini, offrant ainsi une démonstration simple de la généralisation d'Euler du petit théorème de Fermat. La structure générale d'un groupe abélien fini, élucidée par le théorème de Kronecker, n'est démontrée que énormément plus tard, en 1870[23]. Ce formalisme simplifie aussi la démonstration du théorème de Wilson.

La résolution de l'équation (2) revient au problème suivant, au signe près :

xˆ2 \equiv n \mod p\;

Cette équation admet une solution non nulle si et uniquement si n est élément du sous-groupe des carrés de (Z/p Z*, . ). L'étude des morphismes de ce groupe dans celui des racines de l'unité des nombres complexes autorise Gauss de résoudre l'équation (2) dans toute sa généralité. Ce résultat est connu sous le nom de loi de réciprocité quadratique[24]. C'est la première famille d'équations quadratiques entièrement résolue, elle correspond au cas parabolique[25].

Anneau euclidien

Article détaillé : Anneau euclidien.

Une autre structure, servant à résoudre des équations diophantiennes, est au cœur de l'arithmétique modulaire : celle d'anneau euclidien. Un anneau est un ensemble pourvus d'une addition et d'une multiplication compatibles entre elles. Quelquefois, il est envisageable de définir une division euclidienne. Un tel anneau dispose de l'ensemble des théorèmes de l'arithmétique élémentaire : l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide et le théorème essentiel de l'arithmétique s'appliquent toujours.

Gauss étudie la totalité des nombres de la forme a + i. ba et b désignent deux nombres entiers et i l'unité imaginaire. La totalité forme un anneau euclidien dont les éléments portent le nom d'entier de Gauss. Travailler sur cet anneau simplifie la résolution de certaines équations diophantiennes comme celle des deux carrés[26]. Il existe d'autres anneaux euclidiens de cette nature. Ferdinand Eisenstein (1823 - 1852) étudie ceux de la forme a + j. ba et b sert à désigner toujours deux nombres entiers et j la racine cubique de l'unité dont la composante imaginaire est strictement positive. Un tel nombre est nommé entier d'Eisenstein. Cet anneau est le cadre d'une résolution de l'équation (1) pour n égal à trois[27].

Il permet aussi de résoudre le dernier théorème de Fermat pour n égal à trois[28]. Elle reprend les grandes lignes d'une tentative d'Euler de résolution de cette question. Par contre, le mathématicien utilisait l'anneau des nombres de la forme a + i√3. b[29]. Il supposait que l'anneau reconnu est euclidien, ce qui n'est pas le cas et invalidait sa démonstration. En effet, le nombre quatre possède deux décompositions en facteurs irréductibles, ce qui est impossible dans un anneau euclidien :

4 = 2\times 2 = (1+ i\sqrt 3)\times(1- i\sqrt 3) \;

En 1825 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) utilise un anneau analogue, composé d'entiers de Dirichlet et initialise une preuve du grand théorème de Fermat pour n égal à 5. Elle est finalisée par Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) quelques mois plus tard[30].

Théorème de la progression arithmétique

Article détaillé : Théorème de la progression arithmétique.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, pour établir le théorème de la progression arithmétique, utilise de nouvelles techniques, fondatrice de la théorie analytique des nombres.

Une équation diophantienne, pose une question dont la réponse est déjà conjecturée par Gauss et Legendre. Si a et b sont deux entiers premiers entre eux, elle prend une des deux formes suivantes, toutes deux équivalentes :

 x = ay + b \quad \text{ou}\quad x \equiv b \mod a\;

Les solutions recherchées sont celles où x est un nombre premier. La conjecture affirme qu'il existe une illimitété de valeurs de x satisfaisant l'équation.

Dirichlet parvient à démontrer ce résultat[31] en 1837. La démonstration utilise l'arithmétique modulaire à travers l'étude des morphismes du groupe multiplicatif de Z/a Z dans C. Il généralise l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini entamée par Gauss avec les sommes et périodes de Gauss qui ne traitaient que le cas où a est un nombre premier. Dirichlet s'inspire des découvertes de Joseph Fourier (1768 - 1830) sur ses séries. Charles Gustave Jacob Jacobi (1804 - 1851) dit de lui : «En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine»[32].

Sa démonstration est remarquable au sens où elle ne se limite pas au simple usage de techniques algébriques. Il reprend les travaux d'Euler sur un produit illimité, trouvé suite à l'étude du problème de Mengoli[33] et qui établit le résultat suivant, si P sert à désigner la totalité des nombres premiers :

\prod_{p \ \in P} \frac 1{1- pˆ{-2}} \ = \ \sum_{n=1}ˆ{+\infty} \frac1{nˆ2} = \frac {\piˆ2}6

La démonstration ouvre la porte à une nouvelle arithmétique, faisant aussi usage de l'analyse et désormais nommée théorie analytique des nombres.

Théorie algébrique des nombres

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Quatorze ans plus tard, le succès de Dirichlet est suivi par une tentative réussie de Gabriel Lamé (1795 - 1870) pour résoudre le cas n égal à 7 du dernier théorème de Fermat. Une fois toujours les techniques modulaire sont à l'œuvre, la structure clé est toujours un anneau euclidien[34]. Mais la complexité de la preuve montre que la démarche n'est pas généralisable.

Ainsi, l'arithmétique modulaire sert à véritables avancées, mais la résolution générale de famille d'équations reste particulièrement le plus souvent hors de portée. Cette remarque est valable pour le dernier théorème de Fermat mais aussi pour les équations quadratiques. En effet, s'il est envisageable de trouver une illimitété de solution à l'équation (3) , personne ne sait démontrer si la totalité des solutions est exhaustif ou non. Enfin l'équation (1) reste inabordable dans le cas général. Une famille d'anneaux représentent des bons candidats pour aller plus loin, ils sont constitués d'entiers algébriques.

Entier algébrique

Article détaillé : Entier algébrique.
Cette figure illustre le groupe des unités de l'anneau des entiers de Dirichlet. Ici ω sert à désigner l'entier de Dirichlet égal à 1/2. (1 + √5).

Plusieurs exemples d'anneau entiers algébriques ont déjà été observés dans cet article : les entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet. Une démarche plus générale consiste à étudier un corps quadratique c'est-à-dire le plus petit sous-corps de C (la totalité des nombres complexes) contenant les racines d'un polynôme de degré deux. Un entier quadratique est un élément de ce corps qui est racine d'un polynôme unitaire (le monôme de degré deux a pour cœfficient un) ainsi qu'à cœfficients dans Z. Les entiers quadratiques forment un anneau inclus dans le corps quadratique.

A certains égards, les exemples utilisés sont exceptionnels. Dans le cas général, deux obstructions demandent d'aménager les résultats de l'arithmétique modulaire pour permettre de résoudre des équations diophantiennes. Une fois la structure de ces obstructions comprises, les équations de type (1) et (3) peuvent être traitées.

La première est mise à jour par Dirichlet. Pour les entiers quadratiques, elle ne concerne que les cas où les éléments sont tous inclus dans la totalité des nombres réels, on parle de corps quadratique complètement réel. Le groupe des unités, est la totalité des éléments inversibles de l'anneau. Il devient illimité sur un corps quadratique complètement réel. L'équation (3) revient à trouver l'ensemble des éléments du groupe des unités de l'anneau. Le théorème des unités de Dirichlet donne la structure d'un tel groupe, sans se limiter aux extensions associées aux polynômes de degré deux. Dans le cas d'un corps quadratique complètement réel, il est isomorphe au groupe additif Z/2Z x Z. Graphiquement, l'illustration de gauche montre que les éléments se situent sur quatre branches d'hyperboles. Toute solution de l'équation de Pell-Fermat correspond à un couple de racines inverse l'une de l'autre. Les fractions continuées permettent de déterminer une racine primitive du groupe des unités, c'est-à-dire que cette racine génère l'ensemble des autres. La compréhension de la structure de cette obstruction montre que la méthode de Lagrange permet effectivement de trouver l'ensemble des solutions de l'équation (3) et clôt la question. [35]

La seconde obstruction concerne la décomposition en facteurs premiers d'un entier algébrique. Elle est unique dans le cas des anneaux euclidiens, principaux ou factoriels. Cette propriété, exprimée par le théorème essentiel de l'arithmétique, fait partie des fondements de l'arithmétique élémentaire ou modulaire. Elle n'est plus vérifiée dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques. Ernst Kummer (1810 - 1893) interprète cette réalité comme un défaut de nombres premiers, c'est parce qu'il en manque que l'unicité de la décomposition disparaît. Il a l'idée d'enrichir l'anneau de nombres idéaux pour remplacer les nombres premiers manquants[36]. Richard Dedekind (1831 - 1916) donne à cette théorie son formalisme moderne. Il met en évidence en 1876 que les nombres idéaux de Kummer se formalisent simplement à l'aide du concept d'idéal, un sous-groupe de l'anneau stable par multiplication par un élément quelconque. Il reprend à cette occasion le vocabulaire de Kummer, tout en modifiant le formalisme. Les nombres premiers idéaux correspondent en fait à des idéaux premiers non principaux[37]. Grâce à la notion d'idéal fractionnaire, il trouve un équivalent du théorème essentiel : tout parfait se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Il reste alors à déterminer la structure des idéaux premiers principaux et non principaux. Avec un groupe quotient d'idéaux par des idéaux principaux, il définit le théorème clé, à savoir que ce quotient, nommé groupe des classes d'idéaux est un groupe abélien fini[38]. Dans les cas simples, comme celui des anneaux d'entiers quadratiques, ce résultat sert à déterminer les idéaux premiers non principaux et par la même occasion de résoudre l'équation (3) dans le cas général[39].

Corps cyclotomique

Article détaillé : Corps cyclotomique.
Ernst Kummer démontre en 1847 le dernier théorème de Fermat pour tout nombre premier régulier

Si le formalisme moderne venant à bout de la seconde obstruction est l'œuvre de Dedekind et date de la fin du XIXe siècle, une partie non négligeable du travail mathématiques provient des travaux de Kummer du milieu du siècle. Sa préoccupation est la généralisation de la loi de réciprocité quadratique mais aussi le dernier théorème de Fermat.

La démonstration du cas n égal à sept de Lamé se fonde toujours sur l'anneau des entiers algébriques d'un corps quadratique. L'impossibilité de réponse générale fondée sur l'étude des entiers quadratiques poussent Lamé et Kummer à étudier d'autres corps de nombres, c'est-à-dire que plus petit sous-corps de C contenant l'ensemble des racines d'un polynôme. Ils choisissent tous deux les polynômes cyclotomiques, c'est-à-dire les polynômes unitaires de degré minimal ayant pour racine une racine de l'unité. Le corps de nombre associé est nommé corps cyclotomique. De tels corps possèdent de multiple bonnes propriétés. Le polynôme cyclotomique est à cœfficients dans Z[40] ainsi une racine de l'unité est toujours un entier algébrique. Un corps cyclotomique reste plus longtemps principal et , si tel est le cas, l'anneau des entiers vérifie le théorème essentiel de l'arithmétique. Ainsi, les anneaux d'entiers algébriques des corps cyclotomiques d'indice 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont principaux. Cette observation pousse Lamé[41] à présenter une solution qu'il croit générale au grand théorème de Fermat en 1847. Kummer est plus prudent, il a déjà démontré trois ans plus tôt que pour l'indice 23, l'anneau n'est pas principal[42].

Le formalisme utilisé dans cet article est celui en vigueur aujourd'hui et diffère de celui de Kummer, cependant le contenu mathématique est le même. La difficulté à résoudre est de comprendre comment s'agencent les idéaux premiers non principaux. Ce problème, quoique résolu plus tôt, est finalement plus complexe que celui des anneaux d'entiers quadratiques. Le polynôme à l'origine du corps de nombres est de degré quelconque et non plus égal à deux. La théorie de Galois est d'une grande aide. Dans le cas d'un corps cyclotomique K, l'extension est dite galoisienne, c'est-à-dire qu'il existe tout autant d'automorphismes de K que la totalité possède de dimensions s'il est reconnu comme un Q espace vectoriel. Ces automorphismes forment un groupe fini G, nommé groupe de Galois. L'image d'un parfait premier par un automorphisme est aussi un parfait premier. Cette remarque sert à comprendre la structure des idéaux premier avec la ramification. Tout parfait premier P contient un unique nombre premier p. La technique consiste alors à décomposer l'idéal principal pK en idéaux premiers. Le groupe G agit transitivement sur l'idéaux premiers décomposant pK ce qui sert à déterminer la décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes.

De plus, K est une extension abélienne et même cyclique, c'est-à-dire que le groupe de Galois est cyclique. Une conséquence est que le groupe des classes est aussi cyclique. Le groupe des classes devient assez aisé à déterminer et , si p est un nombre premier régulier, alors il ne divise pas l'ordre du groupe des classes. Cette propriété permet d'obtenir une démonstration assez aisée du dernier théorème de Fermat[43]. Les seules exceptions plus petites que 100 sont 37, 59 et 67.

Géométrie algébrique

La démarche fondée sur l'analyse fine d'un corps de nombres possède des limites. Pour une équation polynomiale diophantienne non homogène, c'est-à-dire si le degré des différents monômes n'est pas le même, les outils imposent des acrobaties limitant beaucoup la portée de la méthode. Même dans les cas les plus simples, comme celui de l'extension cyclotomique, la structure des idéaux premiers est quelquefois complexe, tel est le cas pour les idéaux associées à des nombres premiers non réguliers.

En revanche, les outils développées dans ce contexte, se généralisent à d'autres branches des mathématiques. La théorie des anneaux, et spécifiquement des anneaux de Dedekind avec ses idéaux premiers ou fractionnaires s'appliquent aussi à la géométrie algébrique. Une variété algébrique se définit comme la totalité des racines communes d'un parfait de polynômes. La théorie de Galois est aussi opérationnelle dans ce domaine. Enfin d'autres outils sont disponibles, un polynôme se dérive tandis qu'un entier non, une surface possède de nombreuses propriétés topologiques comme le genre, source de théorèmes nouveaux.

Une équation polynomiale diophantienne s'interprète aussi comme l'intersection d'une variété algébrique et d'un réseau égal à Zn. Cette approche permet des méthodes de résolutions simples d'équations diophantiennes comme la recherche de triplets pythagoricien. Ces différentes raisons poussent le XXe siècle à étudier les équations diophantiennes avec cet axe.

Le dixième problème de Hilbert

Ces problèmes respectant les traditions sont posés et fréquemment non-résolus durant des siècles, les mathématiciens d'ailleurs en viennent graduellement à les comprendre dans leur profondeur (occasionnellemen), plutôt qu'à les traiter comme des puzzles. En 1900, en reconnaissance de leur profondeur, Hilbert proposa la résolubilité de l'ensemble des problèmes diophantiens comme le dixième de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le nom de théorème de Matiyasevich le résolut négativement : généralement les problèmes diophantiens ne sont pas résolubles, au sens où on peut construire explicitement de tels problèmes pour lesquels l'existence d'une solution est indécidable (dans le dispositif axiomatique où on s'est positionné ; on construit un polynôme précis en partant de la liste des axiomes). Le point de vue de la géométrie diophantienne, qui est une application des techniques de la géométrie algébrique dans ce domaine, a continué de croître comme résultat ; puisqu'en traitant arbitrairement les équations, cela mène à une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui ont aussi un sens géométrique.

Recherche moderne

Une des approches générales est à travers le principe de Hasse. La descente illimitée est la méthode respectant les traditions, et a été poussée particulièrement loin.

La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la caractérisation des ensembles diophantiens comme récursivement énumérables.

Le domaine de l'approximation diophantienne a à voir avec les cas d'inégalités diophantiennes : les variables sont toujours supposées être entières, mais certains cœfficients peuvent être des nombres irrationnels, et le signe de l'égalité est remplacé par des limites supérieures et inférieures.

Références

Notes

  1. C. Goldstein, «Fermat et son Théorème», Orsay Info 57, 1999 Lire
  2. David Hilbert Théorie des corps de nombres algébriques : Préface Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3ième série tome 3 page VI 1911 lire
  3. Elémentaire est pris ici au sens où la sophistication des outils est limitée. Il existe une deuxième définition de preuve élémentaire en arithmétique, signifiant que la démonstration n'utilise ni nombre ni technique transcendante. Selon cette deuxième définition la démonstration de Willes du théorème de Fermat est élémentaire, elle est néenmoins ardue et utilise de nombreux outils complexes et techniques.
  4. La résolution de cette équation est plus précoce, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac présente une solution dans son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, paru en 1624.
  5. Une démonstration de l'absence de solutions autres que triviales est proposée dans l'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat.
  6. Ce texte est extrait d'une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy et daté du 18 octobre 1640 lire
  7. Le plus grand nombre premier connu en 2007 est 232 582 657 - 1 : The Great Internet Prime Search
  8. L'article nombre de Fermat donne un exemple de l'utilisation du petit théorème de Fermat pour établir la non primalité d'un entier.
  9. Pierre de Fermat Correspondance Marin de Mersenne 25 Décembre 1640
  10. Leonhard Euler Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ (6) 1738 p 102-103 1732
  11. Leonhard Euler Theoremata circa divisors numerorum Novi commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ (1) 1750 p 20 à 48 1747/48
  12. N. Lippi and J. Frey Biographies of Mathematicians-Marin Mersenne Université de St Andrew 1998
  13. Une résolution élémentaire de cette question est présentée dans la démonstration d'Euler du Théorème des deux carrés de Fermat.
  14. On en trouve une trace dans sa correspondance avec Christian Goldbach :Correspondance d'Euler avec Goldbach.
  15. Joseph-Louis Lagrange Recherche d'arithmétique seconde partie Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 1775 Œuvres, vol III p 695, 795. Le théorème est démontrée sous le nom de Lemme VII p 782, 783
  16. Sa démonstration, pour le cas où n est égal à 1 est présentée dans l'article théorème des deux carrés de Fermat
  17. Leonhard Euler Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos Opuscula analytica 1, 1783, p. 64-84 lire
  18. Adrien-Marie Legendre présente une preuve, elle suppose cependant de résoudre une autre équation diophantienne, traitée par le théorème de la progression arithmétique, plus complexe que cette équation : Essai sur la théorie des nombres Duprat Paris 1798
  19. T. S. Bhanu Murthy, A modern introduction to ancient Indian mathematics, New Delhi, 1992.
  20. Le site de l'Université de St Andrews propose un article sur cette question Pell's equation
  21. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticæ par A. -C. -M. Poullet-Delisle 1801 lire
  22. Cette notation est explicitée dans l'article Congruence sur les entiers.
  23. Leopold Kronecker Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft. pp. 881–889 Berlin 1870
  24. Une démonstration est présente dans l'article Analyse harmonique sur un groupe abélien fini le cas spécifique pour n = -1 ou 2 est traité dans l'article Loi de réciprocité quadratique, une démonstration pour n = 3 est présente dans la démonstration du cas n = 3 du théorème des deux carrés de Fermat.
  25. Gauss est l'auteur de la première démonstration en 1796. Il qualifie plus tard sa démonstration de laborieuse : Gauss, Eisenstein, and the third proof of the Quadratic Reciprocity Theorem
  26. L'article Théorème des deux carrés de Fermat propose une démonstration par Dedekind utilisant cet anneau.
  27. Une résolution de cette nature est proposée dans l'article Théorème des deux carrés de Fermat
  28. Une démonstration est proposée dans l'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat.
  29. H. M. Edwards Fermat's Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory Springer 3ème Ed 2000 (ISBN 0387950028)
  30. Dirichlet Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et Lejeune-Dirichlet, au Journ. der Mathemat., de M. Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157
  31. Dirichlet Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. Jahrg. 1837, S. 108-110 p. 307-312 1837
  32. W. Ahrens Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi The Mathematical Gazette, Vol. 4, No. 71 pp. 269-270, 1908
  33. Leonard Euler Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord 2 p 115-127 1743
  34. On trouve une description de la preuve sur le site Fermat's last theorem
  35. Une démonstration est proposée dans l'article Entier quadratique.
  36. Ernst Kummer Sur la théorie des nombres complexes, Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris. 1847
  37. Richard Dedekind Traité sur la théorie des nombres trad. C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 (ISBN 2829302893)
  38. Richard Dedekind Zur Theorie der Ideale Nachr der K. Ges. Der Wiss. zu Göttingen 1894
  39. L'article entier quadratique montre comment résoudre le cas général de l'équation (3) à travers l'exemple n égal à 5
  40. Cette propriété est démontrée dans l'article Polynôme cyclotomique
  41. Gabriel Lamé Démonstration générale du théorème de Fermat, sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation xn +yn =zn Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris 1847 24, 310-315 Lire sur Gallica
  42. H. M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14 (1975)
  43. Ernst Kummer Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ+yλ=zλ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ Monatsber, Akad. d. Wiss. Berlin pp 132-139, 140-141 et 305-319 1847

Liens externes

Références

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu