Équation

Une équation est, en mathématiques, une égalité contenant une ou plusieurs variables. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie.



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Équation - Vocabulaire de l'algèbre

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  • Résoudre une équation revient à obtenir des fonctions principalement non... prendra deux valeurs qui seront solutions d'une équation du deuxième degré.... x4) soient conjugués comparé aux deux racines de l'équation est : (x1 +... (source : xavier.hubaut)
  • ... alors le membre de gauche de l'équation est semblablement égal au membre de droite. Parmi la famille des solutions de notre équation différentielle, .... montre qu'une fonction peut être "très proche" d'une solution d'une équation... (source : dms.umontreal)
  • La totalité des fonctions solutions de l'équation homogène sur un intervalle est un.... La seconde équation est une équation linéaire du premier ordre en .... (source : mathsplp.creteil.iufm)
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
 
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
Un système dynamique correspond à un type spécifique d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est quelquefois complexe. Dans certain cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, nommée attracteur étrange.

Une équation est , en mathématiques, une égalité contenant une ou plusieurs variables. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi nommée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions. À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas obligatoirement vraie pour l'ensemble des valeurs envisageables que peut prendre la variable[2], [3].

Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques; les techniques associées à leur traitement changent selon leur type.

L'algèbre étudie en particulier deux familles d'équations : les équations polynomiales et les équations linéaires. Les équations polynomiales sont de la forme P (X)  = 0, où P est un polynôme. Des méthodes de transformations et de changement de variable permettent de venir à bout des plus simples. Les équations linéaires sont de la forme a (x)  + b = 0, où a est une application linéaire et b un vecteur. On utilise pour les résoudre des techniques algorithmiques ou géométriques, issues de l'algèbre linéaire ou de l'analyse. Modifier le domaine de définition de la variable peut changer énormément la nature de l'équation. L'algèbre étudie aussi les équations diophantiennes, équations dont les cœfficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilisées sont différentes et principalement issues de l'arithmétique. Ces équations sont généralement complexes, on cherche fréquemment seulement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et , si elles existent, leur nombre.

La géométrie utilise les équations pour caractériser des figures. L'objectif est toujours différent des cas qui ont précédé, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les cartésiennes et les paramétriques.

L'analyse étudie des équations du type f (x)  = 0, où f est une fonction ayant certaines propriétés comme la continuité, la dérivabilité ou encore le fait d'être contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi exactement que envisageable.

Un système dynamique est défini par une équation dont les solutions sont , soit des suites, soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales : l'état initial et le comportement asymptotique. Pour chaque état d'origine acceptable, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Quelquefois, une petite modification de l'état d'origine modifie peu la solution. Ce n'est pas forcément le cas, cette sensibilité à la condition d'origine est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore asymptotique d'une solution correspond à la forme de la solution lorsque la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la seconde question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une fonction périodique ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement chaotique, semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.

Remarque : Le terme inéquation correspond à une définition différente[4]. Si occasionnellementspécifiques[5] les sujets sont connexes, dans le cas général ils sont suffisamment éloignés pour mériter des traitements différents. L'inéquation est en conséquence traitée dans un article scindé.

Préambule

Définition - équation, inconnue et solution

Article détaillé : Inconnue (mathématiques) .
L'exemple suivant est extrait[6] du livre d'Al-Khwarizmi, l'un des fondateurs de l'algèbre.
«Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à un homme, une donation égale à la part d'un de ses fils et , à un autre, le quart de la différence entre le tiers de l'héritage et la première donation.». Si x sert à désigner l'inconnue, ici la fraction de l'héritage que reçoit un fils, la question se traduit par l'équation suivante, où la valeur 1 à droite sert à désigner 1 héritage :
(1)\quad 4x + x + \frac 14\left(\frac 13-x\right) = 1

Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité (1) , est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue x pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'inconnue sert à résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour l'Encyclopédie Soviétique de Mathématiques, une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème[7], [8]. L'équation f (x)  = g (x) correspond à la question : pour quelle valeur de x, l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont quelquefois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.

Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en géométrie, l'équation du cercle ne fait pas référence à une question[9]. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables le plus souvent notées x et y.

Paramètre

Au XVIe siècle, Viète, un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équations[10]. Pour en comprendre l'intérêt, illustrons le par une question.

Exemple d'équation paramétrée.
Le graphe de la fonction f est la parabole illustrée en bleu sur la figure, celui de g1 (x) la droite illustrée en rouge, celui de g-2 (x) en violet et celui de g-1 en vert.

Quel est le nombre de solutions des équations réelles[11] suivantes ?

(1)\;xˆ2=2x + 1,\; (2)\;xˆ2=2x -2 \;\text{et}\; (3)\;xˆ2=2x -1

Pour trouver ce nombre, on considère la fonction f (x), qui à x associe x2, dont le graphe est la parabole représentée à droite en bleu. La fonction g1 (x) associe à x la valeur 2. x +1 (la droite rouge). Les solutions de l'équation sont les abscisses des intersections de la parabole avec la droite rouge, la représentation graphique montre l'existence de deux solutions, car il existe deux intersections. Pour l'équation (2) , considérons la fonction g-2 (x) qui à x associe 2. x -2 (la droite violette). Elle ne rencontre pas la parabole et l'équation n'admet pas de solution. Pour traiter le dernier cas, on considère la fonction g-1 (x) qui à x associe 2. x -1 (la droite verte), c'est toujours une droite parallèle à la précédente et cette fois-ci il existe une unique solution.

Une manière globale de résoudre ces trois questions est de faire appel à une lettre a qui représente un nombre quelconque. Les trois équations précédentes correspondent à la suivante, si a est égal à 1, -2 ou encore à -1 :

(4)\quad xˆ2=2x +a

L'équation (4) ci-contre est dite équation paramétrée et la lettre a sert à désigner le paramètre. Son usage permet d'étudier les équations par familles.

Problèmes soulevés par une équation

Démontrer l'existence d'une solution au problème isopérimétrique, revient à montrer l'existence d'un sommet sur la figure. À chaque couple (C, φ), on associe l'aire du triangle de périmètre 3, contenant un côté de longueur C et un angle adjacent à ce côté égal à φ. Les mathématiciens de l'antiquité ne disposaient pas d'outils pour résoudre cette question[Note 1].

Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies avec une fonction f : R —> R, c'est-à-dire de la totalité des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit f (x)  = 0. On débute quelquefois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donnée par l'étude de la fonction f, ce cas est étudié dans le paragraphe sur les zéros d'une fonction.

Quelquefois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de l'ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper originellement de leur existence. C'est le cas pour le problème isopérimétrique du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur 3) de plus grande aire envisageable. Si T sert à désigner l'inconnue, ici un triangle de périmètre 3, S (T) la fonction qui à un triangle associe son aire et m la limite supérieure des surfaces des triangles de périmètre 3, la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit :

S(T) = m\;

Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse envisageable est le triangle équilatéral[12]. Par contre, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au XVIIIe siècle[Note 2]. L'existence d'une solution est intimement liée à la totalité dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des polygones de périmètre 3, l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre tout d'abord qu'une éventuelle solution serait obligatoirement un polygone régulier[Note 3]. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.

La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le nombre d'or φ est : X2 - X - 1 = 0. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme 1, 618. Par contre, si l'objectif est d'établir la formule reliant la suite de Fibonacci (un) avec φ :

\forall n \in \mathbb N \quad u_n= \frac1{\sqrt 5}\left(\varphiˆn -(1- \varphi)ˆn \right)

Une forme exacte comme (1+ √5) /2 est indispensable. Comme le nombre d'or est irrationnel, il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la racine carrée, car les quatre opérations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes études, qui entrent dans un domaine des mathématiques nommé analyse numérique[13].

Algèbre

Théorie des équations

Article détaillé : Théorie des équations.
Le graphe du module du polynôme X5 - 3X + 2, montre que ce polynôme admet au moins quatre racines (la cinquième n'est pas visible sur le graphique), illustrant le théorème de d'Alembert-Gauss dans un cas spécifique.

La première théorie des équations ne concerne que les équations polynomiales, c'est-à-dire de la forme P (X)  = 0 où P est un polynôme[14]. Elle est basée sur des transformations des membres de l'équation en appliquant les cinq opérations «classiques» (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) aux cœfficients de l'équation comme à son inconnue.

Si le degré du polynôme est égal à 2 et si les cœfficients et les solutions recherchées sont réels, alors ces méthodes permettent de trouver les solutions, toujours nommées racine (cf l'article Équation du second degré). L'usage du changement de variable permet d'étendre la famille d'équations qui se résolvent, ainsi comme l'illustre l'exemple[Note 4] e2x -  (ea + eb) ex + ea+b = 0, en posant X = ex. Cette méthode du changement de variable ne se limite pas aux équations algébriques.

Pour aller plus loin et résoudre l'équation cubique, c'est-à-dire du troisième degré, les mathématiciens italiens de la Renaissance découvrent l'obligation d'enrichir la totalité des nombres en lui adjoignant des nombres imaginaires[15]. Cette découverte permet la résolution des équations du troisième et quatrième degré (Voir les méthodes de Cardan et Ferrari).

Le théorème de d'Alembert-Gauss précise que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 ainsi qu'à cœfficients réels ou complexes, admet au moins une racine complexe[16]. Si ce théorème assure, dans un cas particulièrement général, l'existence d'une solution, il n'en offre aucune formulation explicite, et l'intuition de ces racines complexes pour les polynômes réels n'est pas immédiate. Le deuxième théorème, dit théorème d'Abel en explique la raison : il n'existe, généralement, aucune formule analogue[Note 5] à celles qui s'appliquent aux petits degrés, capable d'exprimer les racines. Ce résultat, œuvre de Niels Abel[17], est complété par Évariste Galois qui indique une condition indispensable et suffisante pour déterminer dans quels cas les racines d'une équation polynomiale possèdent une expression de cette nature[18]. Sa démonstration fait appel à la théorie de Galois.

Les deux théorèmes qui ont précédé closent la théorie des équations. Cette expression fut toujours en vigueur en mathématiques pendant tout le XIXe siècle[19]. Elle reste d'actualité en histoire des sciences[20]. Elle est toujours utilisée en mathématiques[21], mais elle est devenue rare et légèrement désuète.

Système d'équations linéaires

Article détaillé : Système d'équations linéaires.
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique est un ouvrage anonyme en chinois proposant une méthode de résolution de l'équation linéaire.

Une autre famille d'équations est traitée par l'algèbre : celle des équations linéaires. Ce sont les équations de la forme (1) a (x)  + b = 0, où a est une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F, b un vecteur de F et x une variable qui décrit la totalité E. Si les espaces E et F sont de dimension finie, notés n pour E et m pour F, le choix d'une base de E et de F, permet d'exprimer a sous la forme d'une matrice (ajk), x sous la forme d'un vecteur colonne à n coordonnées (xk) et b d'un vecteur colonne à m coordonnées (bj).

(2)\quad \left\{\begin{matrix}  a_{11}x_1+a_{12}x_2+..
_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+..
_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+..
_{mn}x_n = b_m\end{matrix}\right.

D'une équation (1) on passe à un dispositif (2) , de m équations à n inconnues. Cette technique, consistant à passer d'une équation vectorielle à un dispositif de plusieurs équations réelles de plusieurs variables réelles, ne se limite pas au cas linéaire.

Sous la forme (2) , plusieurs algorithmes permettent de trouver une racine. Si n est égal à m et si le déterminant de la matrice de a est non nul, il est envisageable d'utiliser la règle de Cramer. Ce n'est pas l'algorithme le plus efficace, la méthode du pivot de Gauss est plus simple et plus rapide[22]. Elle revient à isoler les n variables avec une suite de substitutions. Cette méthode est ancienne, on en trouve un équivalent dans le chapitre 8 du livre chinois de mathématiques intitulé Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique et datant d'avant notre ère[23]. Au XIIIe siècle Qin Jiushao va plus loin et trouve comment résoudre un dispositif linéaire avec des congruences comme cœfficients, pour résoudre une question liée à un «programme de répartition de grains»[24].

Équation linéaire et géométrie

Article détaillé : Équation linéaire.
La géométrie sert à trouver des algorithmes de résolution de l'équation linéaire, plus rapides que la méthode du pivot de Gauss. La figure illustre le graphe en dimension 3, de la fonction f.
Cette figure illustre les courbes de niveaux en bleu de la fonction f. Les segments rouges et verts correspondent au trajet suivi ensuite approximante, qui converge en deux étapes en dimension 2.

L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'image d'une application linéaire a, c'est-à-dire la totalité des vecteurs qui admettent un antécédent par f forme un sous-espace vectoriel, comme l'est un plan dans un espace de dimension trois. Le noyau de a, c'est-à-dire les vecteurs de la totalité de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que la totalité des solutions forme un espace affine de direction le noyau de a.

Le point de vue géométrique permet d'élaborer des algorithmes de résolution qui tiennent compte des spécificités de a. Occasionnellemen spécifiques, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la méthode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas où E est un espace euclidien égal à F et a est tel que l'application qui à x et y associe <-ax, y> soit un produit scalaire. Ici les crochets désignent le produit scalaire d'origine de l'espace E[Note 6]. Ceci implique que la matrice de a est de déterminant non nul et symétrique, si la base de E est choisie orthonormale.

Une méthode consiste à ne pas chercher à résoudre l'équation a. x + b = 0 mais à répondre à une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient à trouver le point optimal[Note 7] de l'expression qui à x associe f (x), défini par :

\forall x \in E \quad f(x) =\frac 12 \langle ax,x\rangle +\langle b,x\rangle

Son point optimal est la solution de l'équation linéaire. Pour comprendre la méthode de résolution, le plus simple est de représenter le cas où F est de dimension 2. Le graphe de f a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustré sur la figure de gauche. Une méthode consiste à partir d'un point quelconque x0 ainsi qu'à suivre la ligne de plus grande pente, illustrée en rouge sur les figures et qui correspond à une parabole à gauche ainsi qu'à un segment à droite. Le sommet de cette parabole est noté x1. A partir du point x1, on suit à nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom de descente de gradient[25].

Si, au lieu de suivre précisément le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire <-a. x, y>, la méthode converge vers la solution en un maximum de n étapes, si n sert à désigner la dimension de E. Elle porte le nom de méthode du gradient conjugué[26].

Géométrie

Géométrie analytique

Article détaillé : Géométrie analytique.
Une conique est toujours l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution.

En géométrie euclidienne, il est envisageable d'associer à chaque point de l'espace un jeu de coordonnées, par exemple avec un repère orthonormé. Cette méthode sert à caractériser des figures géométriques avec équations. Un plan dans un espace de dimension 3 s'exprime comme la totalité des solutions d'une équation du type a. x + b. y + c. z + d = 0, où a, b, c et d sont des nombres réels, x, y, z les inconnues qui correspondent aux coordonnées d'un point du plan dans le repère orthonormal. Les valeurs a, b et c sont les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan défini par l'équation. Une droite s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-à-dire comme les solutions d'une équation linéaire à valeurs dans R2 ou comme les solutions d'un dispositif de deux équations linéaires à valeurs dans R, si R sert à désigner la totalité des nombres réels.

L'équation cartésienne offre une méthode simple de démonstration du théorème de Thalès relatif au cercle.

Une conique est l'intersection d'un cône d'équation x2 + y2 = z2 et d'un plan. C'est à dire, dans l'espace, toute conique est définie comme les points dont les coordonnées sont solutions d'une équation du plan dans R2 et de l'équation précédente. Ce formalisme sert à déterminer les positions et les propriétés des foyers de la conique.

Avec cette approche, on obtient des équations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe précédent. Un exemple est donné par le théorème de Thalès indiquant qu'un triangle est rectangle s'il possède un côté égal à un diamètre d'un cercle et un sommet opposé élément du cercle. Ce théorème est illustré sur la figure de droite. Si le repère est bien choisi, il est orthogonal et l'équation du cercle s'écrit : x2 + y2 = 1, les points A et C de la figure de droite ont pour coordonnées respectives (-1, 0) et (1, 0). Dire que AB est perpendiculaire à CB revient à dire que les vecteurs associés sont orthogonaux. L'équation du cercle sert à conclure la démonstration, en effet :

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB} =\langle(x-1,y),(x+1,y)\rangle = (x+1)(x-1) + yˆ2 = xˆ2 + yˆ2 - 1 = 0 \quad\text{car}\quad xˆ2 + yˆ2 = 1[Note 8]

L'usage d'une équation sert à faire appel à un nouveau pan des mathématiques pour résoudre des questions de géométrie. Le repère cartésien transforme un problème de géométrie en un problème d'analyse, une fois les figures étudiées traduites en équations ; d'où le nom de géométrie analytique[27]. Ce point de vue, mis en évidence par Descartes, enrichit et modifie la géométrie telle que la concevaient les mathématiciens de la Grèce antique[Note 9].

Actuellement, la géométrie analytique sert à désigner une branche des mathématiques où la recherche est active. Si elle utilise toujours l'équation pour caractériser une figure, elle utilise aussi des outils particulièrement élaborés issus de l'analyse fonctionnelle ou de l'algèbre linéaire[28]

Équation cartésienne et paramétrique

Articles détaillés : Équation cartésienne et Équation paramétrique.

Il existe au moins deux méthodes pour décrire une figure géométrique avec équations. La première consiste à la décrire par une équation de la forme f (x) = 0, où f est une fonction de l'espace euclidien E de dimension n dans Rdd est un entier plus petit que n. Si f est une fonction suffisamment régulière, n - d est la dimension de la figure géométrique. Si elle est égale à 1, la figure est une courbe, pour 2 on parle de surface etc[29]... Une telle équation peut aussi s'écrire comme système de d équations à valeurs dans les réels précisément comme pour le cas de l'équation linéaire. Ce type d'équation est nommé cartésien si x est exprimé avec ses coordonnées dans un repère cartésien[30]. Les équations décrites dans le paragraphe précédent sont toutes cartésiennes, comme celle du cercle d'équation x2 + y2 = 1.

Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique avec une fonction f de Rd dans E de la manière suivante, un point m de E est élément de la figure quand il existe un point x de la totalité de définition de la fonction f tel que f (x) est égal à m. Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de f (il suffit que sa différentielle soit injective), la figure est de dimension d. On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique[31], cette définition de l'équation est assez éloignée de celle trouvée en algèbre.

Exemple :

Le cercle trigonométrique du plan euclidien admet pour équation paramétrique, de paramètre θ.

\left\{\begin{matrix}x & = & \cos\theta \\ y& =&\sin\theta\end{matrix}\right.

Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une variété, au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement veut dire que si m est un élément de la figure, il existe une fonction f et un voisinage V d'un point de la totalité de départ de f tel que l'image de f soit incluse dans la figure et tel que l'image de V par f soit un voisinage de m dans la figure[32]. Localement, il est aussi envisageable de définir la figure avec une équation cartésienne.

Arithmétique

Équation diophantienne

Article détaillé : Équation diophantienne.
Après plusieurs siècles d'efforts de la communauté mathématique, c'est David Hilbert qui finit par résoudre l'équation diophantienne de degré 2.

Historiquement, les premières équations formalisées sont de nature arithmétique et datent du IIIe siècle[33]. Si on recherche comme solution d'une équation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre entier et si l'équation est à cœfficients entiers, on parle d'équation diophantienne[34]. Les méthodes décrites auparavant sont le plus souvent insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithmétique, ou au moins de l'arithmétique élémentaire sont indispensables. Un exemple assez simple[35] est celui linéaire à deux inconnues a. x + b. y = c.

Si le degré de l'équation augmente, la question devient bien plus complexe. Même une équation de degré 2 n'est généralement pas simple (voir par exemple le théorème des deux carrés de Fermat ou l'équation de Pell-Fermat) . À condition d'ajouter d'autres méthodes, comme celle de descente illimitée et de nouveaux résultats comme le petit théorème de Fermat, il est envisageable de résoudre quelques cas spécifiques. Le cas général de l'équation de degré 2 demande l'usage d'outils plus particulièrement élaborés, comme ceux de la théorie algébrique des nombres. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les corps finis et les entiers algébriques, qui s'étudient, comme pour l'équation algébrique, avec la théorie de Galois. Si l'équation algébrique de degré 2 est principalement résolue par Al-Khawarizmi, un mathématicien arabe du VIIIe siècle, il faut attendre la fin du XIXe siècle pour que David Hilbert vienne à bout de son équivalent diophantien[Note 10]. L'étude de l'équation diophantienne est fréquemment suffisamment complexe pour se limiter à établir l'existence de solutions et , s'il en existe, à déterminer leur nombre.

Un vaste domaine d'application des équations diophantiennes est l'informatique. Les outils issus de leurs études permettent de concevoir des codes correcteurs et sont à la base d'algorithmes en cryptologie. Il existe des équations diophantiennes qui s'écrivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les résoudre, elles sont à la base de codes secrets. A titre d'exemple, l'équation n = x. y, où n est un entier naturel fixé et où x et y sont les inconnues, n'est pas résoluble en pratique, si n est le produit de deux nombres premiers suffisamment grands. Cette équation est à la base du code RSA[36].

Nombre algébrique et transcendant

Articles détaillés : Nombre algébrique et Nombre transcendant.
Lindemann montre qu'aucune équation polynomiale à cœfficients entiers n'admet π comme racine.

Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une équation donnée, on considère généralement le problème inverse : de quelles équations un nombre donné est-il solution ? Un nombre est dit rationnel s'il est solution d'une équation du premier degré à cœfficients entiers. Il est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à cœfficients entiers. S'il n'est pas algébrique il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donné, l'objectif est de trouver les éventuelles équations polynomiales dont ce nombre est racine (voir l'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique) .

Par exemple pour 2, la question se pose de savoir s'il est envisageable de construire une équation du premier degré ayant cette valeur pour racine. Elle se résout simplement : si une telle équation existe, on en déduit l'expression 2. a2 = b2, où a et b sont des nombres entiers. L'analyse de la décomposition en facteurs premiers montre que le terme de droite contient le facteur 2 un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque démontre que √2 n'est pas un nombre rationnel[Note 11]. Par contre, il est par définition algébrique, car solution de l'équation X2 - 2 = 0.

La même question pour le nombre π est plus délicate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune équation du premier degré à cœfficients dans les nombres entiers, on utilise des fractions continues (Une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne) . Les techniques sont plus particulièrement élaborées que celles utilisées pour démontrer l'irrationalité de √2. Tandis que ce premier résultat est déjà connu à l'époque d'Euclide[37], il faut attendre le XVIIIe siècle pour établir celle de π[38].

Si montrer que π n'est pas solution d'une équation du premier degré à cœfficients dans les entiers n'est déjà pas si simple, il est toujours plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à cœfficients entiers. Il faut toujours plus d'un siècle d'efforts pour établir cette transcendance[39]. Elle clôt une vieille question, à savoir s'il est envisageable de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle, cette question porte le nom de quadrature du cercle. Elle est impossible car toute construction de cette nature définit une surface d'aire égale à un nombre algébrique.

Géométrie algébrique

Article détaillé : Géométrie algébrique.

Résoudre une équation diophantienne polynomiale n'est pas forcément envisageable avec les seuls outils de la théorie algébrique des nombres. Avec ce type de méthode, Ernst Kummer parvient à résoudre, au milieu du XIXe siècle, presque l'ensemble des cas inférieurs à 100 de la célèbre équation dénommée dernier théorème de Fermat[40], mais le cas général reste hors de portée.

La géométrie, et plus exactement la géométrie algébrique, est indispensable pour conclure. L'équation du dernier théorème de Fermat s'écrit de la manière suivante xn + yn = zn. Quitte à étudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par zn et écrire l'équation qn + rn = 1. Si q et r sont choisis dans les nombres complexes, notés ici C, géométriquement, cette équation correspond à une figure de C2, on toujours à une surface réelle dans un espace de dimension 4. Vue dans l'espace projectif de C2, on obtient une surface réelle, plongée dans un espace compact dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de connaître les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du théorème de Fermat.

La topologie offre des éléments de réponse pour cette équation. Une surface de cette nature possède un genre. Topologiquement, elle est équivalente à une sphère (genre 0), à un tore (genre 1) ou à une figure comportant n trous (genre n). Dans le cas d'une variété algébrique, définie par une équation du type P (X, Y), où P est un polynôme à cœfficients rationnels, le genre de la variété est une indication sur le nombre de solutions. Ce résultat, qui porte le nom de théorème de Faltings, est de la même famille d'outils que ceux utilisés pour la démonstration du théorème de Fermat[Note 12].

Analyse

Zéro d'une fonction

Article détaillé : Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction.
La dichotomie Le théorème du point fixe La méthode de Newton.
La dichotomie
Le théorème du point fixe
La méthode de Newton.

En analyse plus toujours, il sera fréquemment vain d'espérer traiter une équation par des techniques élémentaires de substitution ou transformation, en espérant isoler la variable. Et même lorsque cela s'avère envisageable, comme pour certaines équations algébriques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur numérique, l'approche décrite dans ce paragraphe est fréquemment moins coûteuse[Note 13]. On peut toujours ramener l'équation à une forme f (x)  = 0. Considérons par exemple l'équation suivante, l'inconnue étant un réel strictement positif :

\sin(x) = \ln \left( \frac 1{\sqrt x} \right)

Elle se réécrit f (x)  = 0 si on pose f (x)  = sin (x)  + 1/2ln (x). Un zéro est une solution de l'équation dans ce cas spécifique. Il serait vain de chercher à exprimer un zéro par une formule composant des fonctions élémentaires (fractions rationnelles, fonctions exponentielles, logarithmiques ou trigonométriques... ). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de zéros, des intervalles les contenant, mais aussi des approximations de ces zéros[41].

Dans l'exemple, l'étude de la fonction f montre aisément qu'il y a précisément trois zéros, un dans l'intervalle ]0,  1], un dans [3,  4] et le dernier dans [5,  6]. La continuité de f sert à construire une première suite (xn) convergeant vers le zéro de l'intervalle ]0,  1]. Au voisinage de 0, la fonction est strictement négative, au point 1, elle est strictement positive, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un zéro dans cet intervalle, car f est continue. On pose x0 = 0, au point 1/2, la fonction f est strictement positive, on en déduit l'existence d'un zéro dans l'intervalle [0,  1/2] et on pose x1 = 0. Au point 1/4, elle est strictement négative, on en déduit l'existence d'un zéro dans [1/4,  2/4] et on pose x2 = 1/4 et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi précise que souhaitée. Cette méthode porte le nom de dichotomie et est la première illustrée dans la figure du paragraphe. [42]

Seule la continuité de f a été utilisée dans l'algorithme précédent, un théorème du point fixe est à la base d'une méthode plus efficace. On construit une fonction g (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-à-dire un point x tel que g (x)  = x) la solution recherchée. On choisit g de telle manière à ce que la dérivée au point fixe soit la plus petite envisageable. Une solution simple est de définir g (x)  = x + λ. f (x). Dans l'exemple, on peut choisir λ égal à -1/2. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir x0 égal à 1. On définit xn = g (xn-1). Si la dérivée de g est proche de 0, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme précédent. Dans l'exemple choisi, la solution est égale à 0, 43247... La quatrième itération de la première méthode donne pour valeur 0, 375 tandis que celle issue du point fixe donne 0, 4322... [43]

La dérivabilité de f partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence toujours meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point x0, égal à 1 dans l'exemple, à trouver la solution x1 de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x0. Puis on construit x2 comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x1. Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de x4 est égale à 0, 43246 soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de Newton[44].

Équation vectorielle

Article détaillé : Système d'équations.
La méthode de descente du gradient s'applique à toute équation d'un espace vectoriel de dimension finie ainsi qu'à valeurs dans la totalité des nombres réels. Elle est illustrée ici avec une représentation en courbes de niveaux

Si l'équation prend la forme f (x) = 0 où f est une fonction d'un espace vectoriel E à valeurs dans un espace vectoriel F dont le vecteur nul est noté 0, les idées de l'algèbre linéaire peuvent toujours s'appliquer partiellement. Il est envisageable de choisir une base de E et de F et d'exprimer f avec m fonctions fj réelles de n variables xk, où m est la dimension de F et n celle de E, on obtient ce qu'on nomme un dispositif d'équations, de la forme suivante :

\quad \left\{\begin{matrix}  f_1(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ \vdots \\ f_m(x_1,\cdots x_n) = 0\end{matrix}\right.
Cette représentation correspond à la même équation que celle représentée à gauche, mais cette fois-ci en dimension 3.

Les mêmes limitations que celles décrites au paragraphe précédent s'appliquent. Il est particulièrement envisageable que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'équation linéaire, ne soit pas envisageable, par exemple si les fi contiennent des expressions trop complexes. Certaines des idées, exprimées dans le cas où f est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles, peuvent s'adapter à la géométrie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour la nouvelle configuration. Par contre, le théorème du point fixe se généralise, mais aussi la définition d'une dérivée.

La dérivée, ou plutôt la différentielle de f est parfois utilisée de plusieurs manières. La première est une simple adaptation de la méthode de Newton, à partir d'un point x0, on résout l'équation linéaire tangente en ce point, c'est-à-dire Dfx0. h + f (x0)  = 0. La valeur x1 est égale à x0 + h et on réitère le processus pour obtenir une suite. Si E est égal à F et pour permettre une convergence plus rapide, on résout fréquemment une équation linéaire analogue, mais dont l'application linéaire associée définit un produit scalaire. Cette astuce permet une accélération du temps de traitement de la résolution des équations linéaires intermédiaires, la méthode associée porte le nom de quasi-Newton[45].

Une autre méthode consiste à transformer la totalité d'arrivée en R+, par exemple en équipant F d'un produit scalaire et en recherchant les zéros de la fonction g à valeurs réelles, qui à x associe le carré de la norme de f (x) ou encore le produit scalaire de f (x) avec x, si E est égal à F. Les deux équations f (x)  = 0 et f (x) 2 = 0 possèdent les mêmes solutions. Le problème revient à trouver un extremum de la nouvelle fonction g. On part d'un point x0 dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donnée par le gradient et on s'arrête au point x1, le minimum de la fonction g dans la direction du gradient. Puis on réitère le calcul. [Note 14]

Analyse fonctionnelle

Article détaillé : Analyse fonctionnelle (mathématiques) .
L'aérodynamisme d'un objet volant est régi par une équation qui s'étudie avec l'analyse fonctionnelle. Des outils puissants tels que l'espace de Hilbert sont indispensable pour établir quelques théorèmes généraux.

Si l'espace vectoriel E est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres idées doivent être utilisées pour venir à bout de l'équation. Cette configuration se produit si l'inconnue x sert à désigner une fonction. Une fois toujours, il est vain de rechercher des méthodes systématiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions élémentaires, les cas où une telle expression existe tiennent plus de l'exception que de la règle.

Une méthode générale[46] consiste associer à un espace de fonctions Hp, comme celui des fonctions continues définies sur un intervalle [a,  b], une géométrie. Pour ce faire, on peut définir sur l'espace une distance euclidienne, c'est-à-dire définie par un produit scalaire comme celui qui, à deux fonctions f et g de Hp associe :

\langle f,g\rangle = \int_aˆb f(\mu)g(\mu) \mathrm d\mu

Avec cette distance, on construit une suite (xn) de fonctions qui vérifie la propriété de Cauchy, c'est-à-dire que si les indices n et m sont suffisamment grands xn et xm sont arbitrairement proches. Un exemple est donnée par l'équation intégrale, dite de Fredholm[47] :

(1)\quad F(x) = g \quad\text{avec}\quad F : x \rightarrow F_x(t) = \int_aˆb K(t,\mu)\,x(\mu)\mathrm d \mu

La suite (xn) est construite de telle manière à ce que la distance entre les fonctions Fxn (t) et g (t) tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas obligatoirement dans Hp, ce qui revient à dire que cet espace n'est pas complet. Il est alors plongé dans un espace H qui le contient et qui lui, est complet[48]. Un élément de H n'est plus une fonction, il peut être vue comme un élément du dual de Hp[49]. Dans H, la suite (xn) converge vers une limite s. Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation (1) car la distance entre F (s) et g est nulle. Mais s n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de Hp, on parle de solution faible. On montre enfin que cette être abstrait s'identifie à un élément de Hp, c'est-à-dire une à fonction qui vérifie l'équation (1) , nommée solution forte[50], [Note 15]

Systèmes dynamiques

Introduction

Article détaillé : Système dynamique.
Une fois connues la vitesse et la position d'une comète en un instant t, la résolution d'une équation différentielle sert à déterminer sa trajectoire exacte.

La physique est à l'origine d'équations fonctionnelles spécifiques : les systèmes dynamiques. Un exemple historiquement célèbre, est issu de la loi universelle de la gravitation. Si on néglige l'attraction due aux autres planètes, l'accélération de la Terre est dirigée vers le soleil et son intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une équation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la Terre, donne sa trajectoire, c'est-à-dire sa position selon le temps. Historiquement, la capacité à prévoir la position exacte des comètes au XVIIIe siècle fut une confirmation de la théorie de Newton[Note 16].

Un dispositif qui évolue et dont une équation sert à connaître précisément son état au cours du temps, à la condition de connaître son état d'origine, est qualifié de dynamique. On peut les classer en trois grandes catégories. La formulation la plus simple est dite discrète[Note 17], l'état du dispositif est décrit à différentes étapes, notées par les entiers 0,  1,  2 ...,  k, ... et la solution est une suite (u k). Ce type de dispositif est utilisé pour simuler un comportement continu, en discrétisant le temps avec intervalles suffisamment petits pour que l'imprécision génèrées par cette méthode reste dans des limites acceptables. Connaître la trajectoire exacte d'une comète suppose la prise en compte de l'attraction de l'ensemble des corps célestes du dispositif solaire. Résoudre l'équation dans ce cas devient complexe, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravité est presque constante, la trajectoire de la comète est presque parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule facilement, une fois connue la position des différents corps célestes massifs comme les planètes ou le soleil. Par la suite, il suffit de recalculer, à chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire réelle. Si (p k,  v k) sert à désigner le couple position et vitesse de la comète à la seconde k, il existe deux fonctions f et g régissant l'équation :

p_n = f(p_{n-1},v_{n-1}) \quad\text{et}\quad v_n = g(p_{n-1},v_{n-1})

On obtient des suites définies par récurrence, caractéristique d'un dispositif dynamique discret[51].

Il est aussi envisageable de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la comète avec sa vitesse instantanée (que on nomme dérivée en mathématiques) et son accélération (ou dérivée seconde). Résoudre l'équation sert à trouver la trajectoire de notre planète[Note 18]. L'équation prend une forme de la nature suivante, nommée équation différentielle :

f\left(t,p(t),\frac {\mathrm dp}{\mathrm dt}(t), \frac {\mathrm dˆ2p}{\mathrm dtˆ2}(t)\right)= 0

Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une corde vibrante. On parle d'équation aux dérivées partielles[52].

Équation différentielle

Article détaillé : Équation différentielle.
Tracé d'une solution d'une équation différentielle (bleu) de la forme x' = φ (x), la fonction φ est illustrée en vert.

La lettre x sert à désigner ici une fonction de la variable réelle et f une fonction de n + 1 variables réelles. Soit F la fonction qui à x associe la fonction t —> f (t,  x (t),  x' (t),  x (2) (t), ...,  x (n) (t) ), où x (k) la dérivée kième de la fonction x. On considère l'équation F (x)  = 0. Une telle équation est nommée équation différentielle.

Les solutions sont , généralement, étudiées sous la «forme de Cauchy», c'est-à-dire associées à des valeurs t0 , ξ0 , ξ1, ...  , ξn-1 telles qu'une solution vérifie :

f(t,x,x',\cdots, xˆ{(n)})=0 \quad\text{avec}\quad x(t_0)=\xi_0,\;x'(t_0) = \xi_1,\cdots, xˆ{(n-1)}(t_0)=\xi_{n-1}

La situation est légèrement analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles[53]. Un premier résultat global est le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que, si f est une fonction lipschitzienne, il existe une unique solution au problème de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition d'origine donnée[54]. Occasionnellemen spécifiques, il est envisageable d'expliciter directement une solution, comme pour l'équation différentielle d'ordre un à variables scindées ou l'équation différentielle linéaire, mais pas forcément.

L'exemple de droite illustre une solution d'une équation de la forme x' = φ (x), où la solution recherchée est une fonction définissant une courbe du plan. Sa variable est réelle et elle est à valeurs dans R2. La fonction φ est une fonction continue de R2 dans lui-même. À chaque point du plan, elle associe un vecteur, elle est dite champ vectoriel. Une solution s possède la propriété d'avoir, pour chaque point p de son image, une tangente à sa courbe de direction φ (p). La vitesse scalaire à l'instant t[Note 19] est égale à la norme de l'image par φ du point s (t).

Équation aux dérivées partielles

Article détaillé : Équation aux dérivées partielles.
L'équation régissant la surface de la mer est une équation aux dérivées partielles.

La physique propose divers exemples où la solution recherchée ne dépend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas assez simple est celui d'une onde sur une corde vibrante. La fonction décrivant sa position dépend de deux paramètres, le temps et une coordonnée pour décrire un point de la corde. Trois variables sont indispensable pour décrire une vague, deux décrivent la position d'un point de la surface et la troisième le temps. En physique quantique, la relation principale de la dynamique se traduit par une équation d'onde qui nécessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe essentiel est nommée équation de Schrödinger.

L'équation équivalente à celle du paragraphe précédent, pour une fonction x de plusieurs variables, porte le nom d'équation aux dérivées partielles. L'équivalent du problème de Cauchy s'exprime de manière plus complexe. la condition d'origine est remplacée par les conditions aux limites. Occasionnellemen on recherche comme solution une fonction définie sur Ωx[a,  b] ou Ω est un ouvert qu'on suppose borné, connexe et dont la frontière ∂Ω est régulière[Note 20], [a,  b] est un intervalle qui représente le temps. Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond à la valeur ou la limite de la fonction sur ∂Ωx]a,  b[. La fonction modélisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante à la limite de la membrane, cette contrainte est nommée la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur Ωx{a} sont nommées la condition d'origine ou donnée de Cauchy[55].

En météorologie, la prévision numérique du temps consiste à modéliser les mouvements de l'atmosphère terrestre par l'équation de Navier-Stokes[56]. Une difficulté pratique est de déterminer exactement la donnée de Cauchy : il faudrait mesurer la température, la pression, le taux d'humidité etc en tout point de l'atmosphère. Cette difficulté, ajoutée au fait qu'on ne sache pas résoudre l'équation de Navier-Stokes, font que les méthodes de résolution utilisées sont numériques : on ne peut calculer que des valeurs approchées[57].

Certaines équations aux dérivées partielles ne sont pas aussi complexes. Fourier, un mathématicien du début du XIXe siècle avait trouvé comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples[58]. La spécificité de cette équation, comme celle décrivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'être linéaire, c'est-à-dire qu'on peut la mettre sous la forme a (x)  + b = 0, où a est un opérateur linéaire construit avec dérivées partielles et b une fonction spécifique. Le cas linéaire est traité par une théorie «assez bien constituée»[59]. L'outil principal est un espace fonctionnel spécifique, dit de Sobolev.

D'autres équations restent complexes d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer complexe[Note 21]. On est loin de disposer d'une théorie générale[60], les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les dispositifs dynamiques.

Condition initiale

La frontière d'un ensemble de Julia est le plus fréquemment un fractal.

Une des questions qui se pose sur les dispositifs dynamiques est la nature de la solution selon sa valeur d'origine. Si une petite modification de cette valeur change de manière importante le comportement de la solution, même si le dispositif est déterministe, son évolution semblera aléatoire. Déterministe veut dire que toute évolution du dispositif dépend seulement de sa valeur d'origine, sa connaissance idéale sert à prévoir idéalement son futur, ce qui est toujours le cas d'un dispositif dynamique. En physique, il est impossible de connaître idéalement l'état d'origine du dispositif. On le connaît, par exemple avec une précision de 5 décimales, si la sixième décimale finit par modifier l'évolution du dispositif de manière significative, le futur de l'évolution n'est pas idéalement connu, mais dépend d'une information inaccessible et le futur apparaît comme incertain, même si les lois modélisant l'évolution sont déterministes. Ce phénomène se produit en météorologie, cette science est modélisée par un dispositif dynamique qui, pour permettre une prévision sur le long terme, demande une connaissance précise de l'état d'origine. Comme cette connaissance est d'une précision limitée, il existe un horizon dans la prévision[61]. Si l'équation modélisant la météorologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions dépendent continûment de valeurs aux limites du domaine de la solution (l'équivalent de la condition d'origine pour une équation aux dérivées partielles), cette question est associée à l'un des sept prix d'un million de dollars offerts par l'Institut de mathématiques Clay au premier qui apportera la réponse[62].

Une méthode pour apporter des éléments de réponse, est d'étudier les cas les plus simples envisageables. On cherche à comprendre ce phénomène sur une suite récurrente définie par l'équation : xn+1 = f (xn) où f est un polynôme du second degré, réel ou complexe. Un cas particulièrement étudié est celui où f (x)  = x2 + c. La condition d'origine est ici la valeur de x0, un nombre complexe. Jc est la totalité des conditions initiales telles que la suite est bornée, il est nommé ensemble de Julia, dont un exemple est illustré sur la figure de gauche. Toute condition d'origine p hors de la frontière de Jc possède un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensité symbolise la vitesse de convergence. [63]

Une première question qui se pose est le poids de la zone frontière. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition d'origine, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations classiques, une frontière d'une figure géométrique de dimension 2 est d'aire nulle, même si la figure possède une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa frontière, un cercle de même rayon, est d'aire nulle. Par contre, le cercle, reconnu comme une courbe, possède une longueur finie. Pour la frontière de la totalité de Julia, cette méthode s'avère quelquefois inopérante, on peut trouver une longueur illimitée, si la frontière est reconnue comme une courbe[64]. Pour évaluer le poids de cette longueur, on utilise une remarque géométrique. Soit S une surface d'aire s, l'homothétie de rapport 2 appliquée à S, définit une nouvelle surface d'aire 22. s. Si V est une figure géométrique de dimension 3 et de volume v, l'homothétie de rapport 2 définit une figure de volume 23. v. L'exposant qu'on applique au rapport de l'homothétie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine manière permet une évaluation du poids de la figure, on parle de dimension de Hausdorff ou de dimension fractale[65]. Cette technique peut être appliquée à la frontière de la totalité de Julia, sa dimension est génériquement différente d'un[66] : la frontière est dite fractale[67].

Chaos

Article détaillé : Théorie du chaos.
Une suite récurrente, même définie de manière simple, sert à voir la naissance d'un phénomène chaotique.

La sensibilité à la condition d'origine n'est pas l'unique question à résoudre pour élaborer une théorie générale des dispositifs dynamiques. On souhaite aussi connaître le comportement limite du dispositif, toujours nommé comportement asymptotique, c'est-à-dire ce qu'il se passe une fois qu'on a attendu que le dispositif se stabilise. S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois catégories, soit le dispositif s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers toujours autre chose qui, selon certaines définitions, est nommée chaos[68].

Une fois toujours, il est utile de considérer le dispositif dynamique le plus simple envisageable, pour comprendre au moins qualitativement les mécanismes en jeu. Comme auparavant, on utilise une suite récurrente définie par un polynôme du second degré Pr, cette fois-ci réel à valeurs réelles. La suite logistique est définie par récurrence : xr, n+1 = r. xr, n. (1 - xr, n). L'un des charmes de cette suite est que son comportement est assez indépendant de la condition d'origine si elle est choisie entre 0 et 1[Note 22].

Les turbulences générées par les masses d'air autour d'une aile d'avion en mouvement sont chaotiques.

L'objectif est d'augmenter la valeur de r, originellement nulle et d'étudier ce comportement asymptotique. Si une fonction f possède un point fixe pf, de dérivée strictement comprise entre -1 et 1, en valeur absolue, et si la suite définie par xn+1 = f (xn) prend une valeur proche de ce point fixe, elle converge vers pf. Ce point est dit attracteur et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est nommée bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours ]0,  1[, à un ensemble négligeable près, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble être attirée, comme par un aimant vers cet attracteur. Si r est compris entre 0 et 3, l'attracteur est un point et la suite converge. A partir de la valeur 3, le polynôme Pr ne possède plus de point fixe, mais le polynôme composé avec lui-même, en possède un, si r est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de Pr2. La valeur 3 de r est nommée une bifurcation. L'attracteur devient un ensemble à deux éléments, illustré sur la figure de droite. Au point 1+√6, une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur possède alors 4 points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus selon r par des doublements, jusqu'à atteindre une valeur illimitée pour r égale à μ, qui se situe aux alentours de 3, 57[69].

Il devient indispensable de préciser ce qu'on entend par «attracteur» : ce sera l'intersection des ensembles AnAn est l'adhérence des points x k pour k supérieur à n. Dans le cas de la suite logistique ainsi qu'à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est indépendant de la condition d'origine. On peut voir l'attracteur Ar comme un ensemble qui attire les éléments de la suite, laquelle, à partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de A. Entre μ et 4, un triple comportement est envisageable. Pour un ensemble H (pour hyperbolique[70]) de valeurs du paramètre r qui est un ouvert dense de [μ, 4], l'attracteur est un ensemble fini[71] (comportement cyclique). Pour un autre ensemble C (pour chaotique[70]) de valeurs du paramètre, qui est lui fermé, complètement discontinu et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales x0 (dépendant de r) l'attracteur est un intervalle d'intérieur non vide et le comportement est chaotique[72], c'est-à-dire qu'il évolue sans ordre apparent, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant évoluer au gré du hasard, même si cette évolution est en fait déterministe. Le dernier comportement se produit sur la totalité A, complémentaire de l'union de C et de H dans [μ, 4]. La totalité A n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des ensembles de Cantor[Note 23]. Depuis 2002, on sait que A est de mesure nulle[73].

Ce comportement s'applique aussi aux équations différentielles ou aux dérivées partielles. Edward Lorenz a trouvé une équation différentielle assez simple, ayant un attracteur fractal, le plus souvent qualifié d'étrange, il est représenté sur la seconde illustration de cet article[74]. Certaines équations différentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le théorème de Poincaré-Bendixson montre une famille d'équations n'ayant pas de comportement chaotique[75]. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les équations aux dérivées partielles, on les trouve dans les modélisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de turbulences. En 2009, l'état des mathématiques est loin d'être capable de présenter une condition indispensable et suffisante générale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique apparaît, même dans le cas des dispositifs discrets.

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

Notes

  1. En termes modernes, on remarque que la fonction est continue et définie sur un compact, ce qui montre l'existence d'un sommet (cf l'article Théorème isopérimétrique)
  2. Le raisonnement de l'époque consistait à montrer que toute solution est obligatoirement un triangle dont deux côtés adjacents sont de longueurs identiques. Ce résultat montre l'unicité d'une éventuelle solution, mais pas son existence. F. Dress indique : «O. Perron a fait observer que le même schéma de démonstration prouverait que "le nombre 1 est le plus grand nombre entier", puisqu'à tout nombre entier a différent de 1 on peut en effet associer un nombre entier plus grand, son carré a2. Cet argument montre uniquement que le nombre 1 est l'unique candidat envisageable, et l'erreur de cette "démonstration" est bien entendu qu'ici le maximum n'existe pas.» F. Dress Quelques grands problèmes en mathématiques Bulletin de la société mathématiques de France T 115 (1987) p 43
  3. Une démonstration se trouve dans l'article Isopérimétrie
  4. Cette équation peut servir d'exemple introductif, elle est totalement traitée dans le site vidéo : Equation du second degré paramétrée Exercice de mathématiques Terminale S
  5. Le mot analogue veut dire ici en termes techniques : exprimable sous forme de radicaux. Pour plus de détail, voir l'article théorème d'Abel.
  6. La méthode est toujours efficace si son opposé, c'est-à-dire <ax, y> est un produit scalaire
  7. Le terme optimal veut dire ici soit un maximum, soit un minimum
  8. Les détails des calculs sont accessibles en vidéo pour un exemple analogue sur le site : Équation du cercle par vidéomaths
  9. Les informations provenant de ce paragraphe sont disponibles sur le site : L'apparition de la géométrie analytique : la Géométrie de Descartes (1637) IREM de Rennes
  10. Pas moins d'un ouvrage de 350 pages est indispensable pour traiter l'ensemble des cas : D. A. Cox Primes of the Form x2+ny2 Wiley-Interscience 1989 (ISBN 0471506540)
  11. Pour plus de détails, voir l'article racine carrée de deux
  12. Même famille ne veut pas dire que Wiles utilise le théorème de Faltings, pour sa démonstration. Pour comprendre les travaux de Faltings, on peut se reporter à : D. Ara Conjecture de Mordell-Lang relative, selon Hrushovski Ecole Normale Supérieure. Pour comprendre la preuve originale de Wiles voir : A. Wiles Modular elliptic curves and Fermat's last theorem Annals of Mathematics (141) (3), pp 443-551 (1995)
  13. Newton a développé originellement sa méthode pour les équations algébriques indépendamment de leur caractères résolubles : I. Newton De analysi per æquationes numero terminorum illimitétas écrit en 1669 et publié en 1711 par William Jones
  14. Toutes ces méthodes sont présentées et analysées dans la référence suivante : C. Brezinski M. Redivo-Zaglia Méthodes numériques itératives : Algèbre linéaire et non linéaire Ellipses Marketing (2006) (ISBN 2729828877)
  15. On trouve une courte introduction à l'analyse fonctionnelle dans la référence de cette note. Elle débute par l'étude des Hilbert (chap VIII p 147) et termine par celle de l'opérateur de Fredholm (chap IX p 203)  : S. Lang Analyse réelle InterEditions, Paris (1977) (ISBN 2729600595)
  16. Originellement, «Le directeur de l'Observatoire de Paris, Jean-Dominique Cassini, semble ignorer les théories de Newton et de Halley.» 50 ans plus tard, son fils Jacques se rallie à la conception newtonienne et héliocentrique du dispositif solaire. Il rédige : «... nous n'avons pas cru devoir nous écarter du sentiment le plus couramment reçu des Astronomes, que ce sont des Planètes qui font leurs révolutions autour du Soleil, à l'égard duquel elles [les comètes] décrivent des Orbes fort excentriques.» F. Michel Les comètes observées en France au début du XVIIIe siècle
  17. Ce n'est que la formulation qui est plus simple, dans le cas d'un dispositif logique, on attribue a Birkhoff l'affirmation suivante : «Le continu, c'est plus simple que le discret» : D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay p 8
  18. Si on souhaite ne pas négliger l'influence des planètes, l'équation différentielle devient complexe : P. Iglesias Les origines du calcul symplectique chez Lagrange Le journal de maths des élèves de l'École Normale Supérieure de Lyon
  19. La vitesse scalaire correspond à la norme de la dérivée de φ, ou encore, pour une automobile, au scalaire précisé par l'indicateur de vitesse
  20. Ces hypothèses de régularité du domaine ne sont pas générales, on étudie quelquefois des domaines dont la frontière est une fractale, un article célèbre à ce sujet est : M. Kac Can you hear the fractal dimension of a drum? Ann. Math. Month. Vol 73 pp 1-23 (1966)
  21. Une étude de la dynamique des vagues est proposée dans : D. J. Acheson Elementary Fluid Dynamics Oxford University Press (1990) (ISBN 0198596790) p 56 à 110
  22. Une étude simple est proposée dans l'article : D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay
  23. Pour comprendre le comportement légèrement étrange de la suite dans ce cas spécifique, on peut se reporter au gros livre de plus de 600 pages, traitant des questions de cette nature : W. de Melo S. van Strien One-Dimensional Dynamics Springer (1996) (ISBN 3540564128)

Références

  1. Cette équation provient du livre de R. Recorde The Whetstone of Witte publié en 1557. Voir à ce sujet : J. J. O'Connor E. F. Robertson Robert Recorde par le site sur l'histoire des mathématiques de l'Université de St Andrews
  2. Cette définition s'inspire de : Gilles Lachaud, «Mathématiques Mathématique - Équations», Encyclopædia Universalis. Consulté le 12 février 2009.
  3. Une autre source propose une définition du même esprit : «A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations") ». (en) «Equation», dans Mathematics dictionary, Glenn James et Robert C. James (éd. ), Van Nostrand, 1968, 3e éd. (1e éd. 1948), p. 131
  4. Voir, par exemple la définition proposée dans : Inéquation l'encyclopédie en ligne Encarta
  5. C'est le cas par exemple, pour certaines équation étudiés dans l'enseignement pré universitaire : L. Pecqueux Équations - Inéquations par le site mathocollege. free
  6. The algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen (1831) [lire en ligne], p104
  7. (en) «Equation» dans Encyclopædia of mathematics - An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopædia (Michel Hazewinkel, éd. ), Reidel, 1988, vol. 3, p. 399. (ISBN 1556080107) lire en ligne. L'article, non signé, précise être «basé sur l'article du même nom de la Grande Encyclopédie Soviétique.»
  8. On trouve toujours une définition ou l'idée de question est sous-jacente dans l'Encyclopédie Encarta, pas non plus signée : «égalité entre deux expressions mathématiques dont on cherche si elle est vérifiée pour certaine (s) valeurs (s) de la variable nommée inconnue.»
  9. Voir par exemple : Équation cartésienne d'un cercle dans le plan par le site homéomath
  10. J. P. Guichard CultureMATH. François Viète ENS Ulm Paris (2007) (partiellement disponible sur Viète inventeur de l'algèbre nouvelle)
  11. Cet exemple s'inspire de : F. Vandebrouck Introduction de la notion de paramètre au lycée IREM de Paris VII
  12. Ce résultat est attribué à Zénodore au IIe siècle av. J. -C.  : P. Nahin When Least Is Best : How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Envisageable Princeton University Press p 47 (2007) (ISBN 0691130523)
  13. L'analyse numérique est un large domaine qui traite surtout la résolution d'équations de différente nature, en page 2 de cette référence, on trouve page 2 : «Ce cours est une introduction aux méthodes d'analyse numérique... pour résoudre les équations algébriques ou différentielles» : P. Viot Méthodes d'analyse numérique Cours en ligne d'un bon niveau mathématique DEA
  14. L'usage d'une notation indiquant une indéterminée plutôt qu'une variable n'est pas rare en algèbre, c'est ainsi qu'est définie l'équation polynomiale dans : L. Lafforgue La théorie de Galois et l'arithmétique Images des mathématiques, CNRS (2004)
  15. Voir à ce sujet : P. Freguglia Sur la théorie des équations algébriques entre le XVI et le XVIIème siècle Bollettino di storia delle scienze matematiche 1994, vol. 14, n°2, pp. 259-298
  16. Il existe plusieurs formulations de ce théorème. Dans la référence suivante, il est formulé par : «Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.», les énoncés ont l'air différents mais l'article Théorème de d'Alembert-Gauss montre que les deux sont équivalents. Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions] p 283
  17. Niels Henrik Abel Mémoire sur les équations algébriques, où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré 1824
  18. Evariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations algébriques 1846 Journal de Liouville.
  19. On le trouve par exemple toujours à la fin du XIXe siècle : C. A. Laisant Démonstration nouvelle du théorème essentiel de la théorie des équations Bulletin de la S. M. F. tome 1 (1887)
  20. On la trouve dans l'article : Sur l'histoire du théorème essentiel de l'algèbre : théorie des équations et calcul intégral Archive for History of Exact Sciences Vol. 42 n°2 pp 91 136.
  21. Elle est utilisée dans l'encyclopédie Encarta : équations, théorie des Encyclopédie Encarta
  22. Ce site précise «Ces formules ne sont cependant jamais utilisées en pratique car elles amènent à des calculs bien plus longs que la méthode du pivot de Gauss» : V. F. Bayart Pivot de Gauss par Bibm@th. net
  23. K. Chemla G. Shuchun Les neuf chapitres : le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires Paris Dunod (2004) (ISBN 2100077783)
  24. A. Gazagnes Un problème de restes et sa résolution par Qin Jiushao au 13e siècle Bulletin de l'APMEP. N° 444 pp 51-62 (2003)
  25. A. Juditsky Méthode de Descente de Gradient et Méthode de Newton Université Joseph Fourier de Grenoble
  26. N. Soualem Méthode du gradient conjugué Par le site math-Linux
  27. On trouve une définition générale de la géométrie analytique dans : Géométrie analytique par Science. ch non signé
  28. Un Séminaire de géométrie analytique complexe montre par exemple l'usage d'une algèbre de Lie par J. Y. Charbonel.
  29. La théorie du degré est traité p 262 à 296 de manière plus poussée dans Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]
  30. Le site suivant définit et montre des exemples d'équations cartésiennes : N. Drakos R. Moore Équation cartésienne du site Géothalg.
  31. Ce vocabulaire ainsi qu'un exemple illustré par la vidéo : S. Maniez Équation paramétrique de droite spatiale par le site videomath. On trouve aussi ce vocabulaire dans des documents plus académiques où on trouve «Elles possèdent l'avantage d'avoir une équation paramétrique...» : L. Garnier S. Foufou Détermination des équations implicites d'une supercyclide LE2I CNRS UFR Sciences, Université de Bourgogne
  32. Une analyse locale de la représentation des sous-variétés de Rn est traité p 56 et p 101. Le cas des courbes plus générale que celui des sous-variétés de dimension 1, est traité localement p 300 à 333 et de manière globale p 334 à 372 Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]
  33. Voir à ce sujet : La première inconnue par l'IREM de Poitiers p 27
  34. Ce terme est habituel, on le trouve par exemple à : J. Dieudonné P. Dugac Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900 Hermann (édition de 1996) (ISBN 2705660240) p 227 dans l'édition de 1986
  35. D. Richard Algorithme d'Euclide et équation diophantienne Université de Clermont1
  36. R. Rivest A. Shamir L. Adleman A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp 120–126 (1978)
  37. Cette question est traitée dans : B. Rittaud Le fabuleux destin de √2 Le Pommier (2006) (ISBN 2746502755) . On trouve aussi une référence plus académique : T. M. Apostol Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof. The American Mathematical Monthly 107 (9)  : pp 841–842 (Nov. 2000)
  38. La première preuve, comportant toujours des lacunes au sens de la rigueur demandée pour les preuves actuelles, se trouve dans la référence : Johann Heinrich Lambert Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin, 17 1761 pp 265-322
  39. Cette transcendance est montré pour la première fois dans l'article : Zu Hrn. Lindemanns Abhandlung :'Über die Ludolph'sche Zahl', Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin, 2, pages 1067–1086, 1885
  40. Pour les détails de l'histoire de cette équation sous une forme vulgarisée, voir : Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat Hachette Littérature (1999) (ISBN 2012789218) , une version plus académique est : H. M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14 (1975)
  41. Ce site montre comment chercher le nombre de zéros, les intervalles les contenant, mais aussi des méthodes d'approximations tout d'abord pour des polynômes, puis pour des fonctions quelconques : J. P. Calvi Thèmes d'analyse numérique Laboratoire de Mathématiques E. Picard, Université Paul Sabatier à Toulouse
  42. La méthode dichotomique est présentée en partie II du site : P. Fradin Résolution approchée d'équations Extrait d'un cours de MPSI
  43. Ce site définit et présente la méthode du point fixe, il étudie aussi sa vitesse de convergence : V. et F. Bayart Point fixe, et théorèmes du point fixe par le site BibM@ath
  44. Ce site présente la méthode de Newton et analyse sa vitesse de convergence : A. Chambert-Loir Autour de la méthode de Newton Université de Rennes I
  45. Ce site présente la méthode de Newton et de quasi-Newton et explique pourquoi la méthode de quasi-Newton est plus rapide : R. Tapiero Méthodes newtoniennes Université de Lyon I
  46. Cette approche est commune aux deux références bibliographiques de cet article : Les livres de J. P. Aubin et de H. Brézis
  47. On trouve le nom de cette équation ainsi qu'une étude à la page 99 de : Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  48. Le complété de l'espace Hp est construit dans : J. P. Aubin Analyse fonctionnelle appliquée Puf 1987 (ISBN 02463822) Vol 1 chap VI pp 142-168
  49. C'est ainsi que procède la référence : J. P. Aubin Analyse fonctionnelle appliquée Puf 1987 (ISBN 02463822) Vol 1 chap V p 117-137
  50. Cette distinction est décrite de manière un plus générale, dans le contexte des espaces de Sobolev dans : Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 119
  51. Cette description est beaucoup simplifiée comparé aux méthodes réellement utilisées, même si l'usage de suites définies par récurrence est exact : M. Fouchard Ch. Frœschlé S. Breiter R. Ratajczak G. B. Valsecchi et H. Rickman Methods to study the dynamics of the Oort cloud comets II : modelling the galactic tide Lecture Notes in Physics 729 pp 271 293
  52. Pour l'étude du comportement asymptotique d'un dispositif dynamique régi par une équation aux dérivées partielles spécifiques, voir : Chao-Jiang Xu Régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires associées à un dispositif de champs de vecteurs Annales de l'Institut Fourier, tome 37 n°2 (1987) p 105-113
  53. C'est le titre choisi pour le livre : I. M. Guelfand G. E. Chilov Les Distributions. Tome 3 : Théorie des équations différentielles Dunod (1965)
  54. Pour une approche élémentaire, voir : V. & F. Bayart Introduction aux équations différentielles par Bibm@th. net. Pour une vision plus complète, on peut se référer au gros livre (600 pages)  : H. O. Fattorini A. Kerber The Cauchy Problem Cambridge University Press (2009) (ISBN 0521096863)
  55. Ces expressions sont explicitées dans Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 204
  56. On lit «Les écoulements turbulents, et les mouvements de l'atmosphère sont spécifiquement turbulents, peuvent être modélisés par les équations de Navier-Stokes» dans le site : Sur une idée de Philippe Courtier (Météo-France) et Claude Basdevant (ENS-Ecole Polytechnique-Paris) Une météo turbulente par France-diplomatie.
  57. Voir référence précédente.
  58. L'article original est : J. Fourier Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France années 1821 et 1822, t. V, p. 153 à 246; 1826
  59. Cette citation provient de : Dérivées partielles - Théorie linéaire (équations aux) Encyclopædia Universalis
  60. L'Universalis précise «En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales» : dérivées partielles - Théorie linéaire (Équations aux) Encyclopædia Universalis
  61. Ce site précise «Principale limitation d'un modèle est sa résolution spatiale». Cette résolution spatiale correspond à la précision de la connaissance de l'état d'origine J. Poitevin A. Beuraud Modélisation & Prévision numérique : Les limites de la prévision numérique Météo France (CNRM)
  62. Millennium Problems par le site officiel du Clay mathematics institute
  63. On trouve l'explication de cette figure dans : J. Dubois J. Chalin Le monde des fractales Ellipse (2006) Ellipses (ISBN 272982782)
  64. C'est le cas si c est un réel de l'intervalle ]-2, 2[, différent de 0 : C. Vercken Ensemble de Julia par l'Ecole nationale supérieure des télécom Paris
  65. Ce site étudie la suite récurrente du paragraphe et définit la dimension fractale. Elle est indiquée comme équivalente à la dimension de Hausdorff-Besicovitch dans les cas simples : J. P. Louvet Dimension fractale par l'Université de Bordeaux I
  66. Depuis 1991, on sait que cette frontière est génériquement (c'est-à-dire qu'il existe de rares exceptions) de dimension de Hausdorff égale à 2 : M. Shishikura The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and of the Julial sets Tokyo Institute of Technology et State University of New York at Stony Brook
  67. Ces informations sont disponibles au paragraphe Les nombres complexes et les fractales sur : J. P. Louvet Quelques informations sur les fractales par l'Université de Bordeaux I
  68. Il existe plusieurs définitions différentes. Celle choisie ici est celle qu'on trouve dans : R. L. Devaney An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Westview Press 2nd ed (2003) (ISBN 0813340853) pp 48-52
  69. Voir par exemple : D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay pp 16-25
  70. D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay p 43
  71. Ce résultat est bien plus récent : M. Lyubich Dynamics of quadratic polynomials I, II Acta Math. 178, No 2, pp 185 297 (1997)
  72. Ce résultat est l'œuvre de : M. V. Jakobson Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps Commun. Math. Phys. 81, pp 39 88 (1981)
  73. M. Lyubich Almost every real quadratic map is either regular or stochastic Ann. Math. (2) 156, No 1, pp 1 78 (2002)
  74. V. Isoz Équation de Lorenz Sciences. ch (Génie marin et météo)
  75. R. Kollár The Poincaré-Bendixon theorem University of Michigan
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