Entier de Gauss

En mathématiques, et plus exactement en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss.



Catégories :

Entier quadratique - Théorie des anneaux - Carl Friedrich Gauss - Arithmétique modulaire - Réseau (mathématiques)

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Cependant les appellations anneau et corps ne sont pas de Gauss : elles.... Enfin, si c'est l'intégrale sur R tout entier d'e-x² qu'on considère, ... (source : serge.mehl.free)
Carl Friedrich Gauss.

En mathématiques, et plus exactement en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss. Il s'agit par conséquent d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs.

La totalité des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme l'ensemble des ensembles d'entiers algébriques, pourvu de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre commutatif et unitaire, le plus souvent noté Z[i], i sert à désigner ici l'unité imaginaire. Cet ensemble dispose en plus d'une division euclidienne, ce qui permet d'y bâtir une arithmétique particulièrement analogue à celle des entiers relatifs. De manière plus générale, cet ensemble peut être vu comme un anneau d'entiers quadratiques ainsi qu'à ce titre est un anneau de Dedekind.

Ils sont beaucoup utilisés en principe algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, Leur utilisation a permis à Carl Friedrich Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Histoire

Ouvrage traitant des entiers de Gauss 1801.

Les entiers de Gauss ont été découverts tandis que Gauss recherche une solution à la question des congruences des carrés étudié tout d'abord par Fermat. Euler formalise la notion de résidu quadratique et conjecture la solution, c'est-à-dire la loi de réciprocité quadratique. Legendre reprend le théorème et propose une preuve[1] incomplète et insuffisante.

À l'âge de 18 ans, Gauss démontre le théorème. La démonstration est publiée[2] trois ans plus tard. Il considère cette loi comme le joyau de l'arithmétique, l'appelant même le «théorème d'or». Pour résoudre cette question, il découvre un ensemble : celui des entiers qui portent désormais son nom. Ils bénéficient des mêmes propriétés arithmétique que les entiers relatifs. On y trouve la division euclidienne, l'équivalent du lemme d'Euclide, de l'identité de Bézout, des nombres premiers et du théorème essentiel de l'arithmétique. Avec cette structure, il redémontre le théorème des deux carrés conjecturé par Fermat et démontré par Euler et ouvre la voie de l'arithmétique modulaire.

L'utilisation d'une structure comme celle des entiers de Gauss subit des tentatives de généralisation pour s'appliquer à des cubes ou à des puissances quelconques. Elles débouchent dans le cas des cubes (voir entier d'Eisenstein) ou des puissances cinquièmes (voir entier de Dirichlet). En 1847 Gabriel Lamé utilise une méthode d'extension brutale et pense à tort avoir démontré le grand théorème de Fermat. Sa méthode est inopérante car, à la différence des entiers de Gauss, son extension ne dispose pas de la propriété d'unicité du théorème essentiel de l'arithmétique. Kummer trouve[3] une solution qui garantit à nouveau cette unicité. Cette méthode sert à généraliser la loi de réciprocité dans de nombreux cas, et prouve le grand théorème de Fermat dans l'ensemble des cas compris entre 3 et 100, exceptés 37, 59 et 67.

L'étude de ce type de structure est alors beaucoup développée par des mathématiciens comme Dedekind[4] ou Hilbert[5] et prend le nom de théorie des anneaux.

Définition

Formellement, la totalité des entiers de Gauss Z[i] est l'anneau des entiers algébriques du corps des rationnels de Gauss, c'est-à-dire la totalité des rationnels de Gauss dont le polynôme irréductible normalisé est à cœfficients entiers.

Il correspond aux nombres complexes qui peuvent être décrits de la façon suivante :

\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \; |\; a,b\in \mathbb{Z} \}.

Les deux définitions sont équivalentes.

Premières propriétés

Structure d'anneau

Article détaillé : Entier algébrique.
Réseau des entiers de Gauss.

La totalité des entiers de Gauss pourvu de l'addition et de la multiplication forme un anneau.

Ses éléments inversibles sont :  1,  -1,  i, \textrm{∼et∼}  -i.

Cette propriété est générale aux entiers d'une extension de corps (voir Entier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que la totalité est un sous-anneau de l'anneau des rationnels de Gauss (tout corps est aussi un anneau)  :

\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i 2)-(b_1+i°2)=(a_1-b_1)+i
_2-b_2)\in \mathbb{Z}[i]
\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i 2)_1+i°2)=(a_1°1-a_2°2)+i
_1°2+a_2°1)\in \mathbb{Z}[i]

Comme sous-anneau du corps des rationnels de Gauss, il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau est intègre et commutatif. Il est de plus unitaire et par conséquent de caractéristique nulle.

La totalité peut, qui plus est , être pourvu d'une structure de Z module, comme chaque anneau d'entiers algébriques et bénéficie des propriétés inhérentes à ces anneaux. Le module est libre et de type fini. Il possède par conséquent une base, ici la base canonique est (1, i).

Norme

Trois entiers de Gauss : 1+i, 2+i et 1+3i.

Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possède une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :

\forall a_1,a_2 \in \mathbb{Z} \quad N(a_1 + a_2i) = a_1ˆ2 + a_2ˆ2\,

ou encore

\forall z \in \mathbb{Z}[i] \quad N(z) = \left|z\right|ˆ2=z \bar z\,

Elle possède une représentation grahique naturelle, la norme correspond au carré du rayon du cercle ayant pour centre l'origine et de rayon le carré du module du nombre. La figure de droite illustre ce fait, le nombre x égal à 1 + i est de norme 2 et y égal à 2 + i est de norme 5.

La norme telle que définie ici semble incohérente avec celle d'un espace euclidien, une racine carrée est manquante. Leurs origines sont différentes, les généralisations des normes euclidiennes apparaissent comme la racine carré d'une somme de carrés dans un espace de dimension quelconque, dans le cas de la théorie des entiers algébrique, elle apparaît comme une somme de puissance de n si n est la dimension de l'extension. Sous le même mot, se cache deux notions différentes, même si, dans le cas spécifique des entiers de Gauss, les formes sont analogues.

La norme est à valeur entière et toujours positive. Elle est de plus multiplicative.
\forall x,y \in \mathbb{Z}[i] \quad N(x.y) = x.y .\overline {x.y} = x.yar xar y = xar x.yar y = N(x).N(y)\,

Le graphique illustre cette propriété : x de norme 2 et y de norme 5 ont pour produit un entier de Gauss de norme 10.

La norme sert à démontrer simplement quelques résultats, par exemple la recherche des éléments inversibles de l'anneau. Soit x un élément inversible. Alors N (x. x-1) = 1 = N (x). N (x-1) par conséquent la norme de tout élément inversible est égale à 1. Réciproquement si x est de norme 1 alors son conjugué est égal à son inverse par conséquent x est inversible. Le groupe des unités se compose des quatre éléments ayant une norme égale à un : 1, -1, i, -i.

Division euclidienne

Article détaillé : Division euclidienne.
Entier de Gauss division.jpg

La norme possède une propriété plus importante : elle sert à définir une division euclidienne.

  • Soit a et b deux entiers de Gauss tel que b soit non nul, alors il existe un couple d'entiers de Gauss tel que :
a=b.q+r\quad avec \quad N(r)<N(b)\;

Illustrons la division euclidienne par un exemple :

a=-36+242.i\quad b=50+50.i\quad \frac{a}{b}=\frac{103}{50}+\frac{139}{50}i

L'objectif est de trouver un entier de Gauss q proche de a / b. Par proche on entend que le reste de la division soit de norme plus petite que b. Une autre manière d'exprimer la division euclidienne est de dire que la distance entre a / b et q est strictement inférieure à 1.

Dans l'illustration, le carré contenant a / b est mis en valeur par un fond rouge. Les quatre sommets du carré sont alors candidats à être solution de la division euclidienne. Chaque sommet est le centre d'un cercle de rayon un, dont l'intersection du disque intérieur avec le carré rouge indique la zone où la division est envisageable. On remarque que tout point du carré est couvert par au moins un cercle. Plus exactement les points près du centre sont couverts par quatre cercles, une zone près de chaque sommet est couverte par trois cercles, le reste du carré, autour des côtés, par deux cercles à l'exception des sommets, couverts par un unique cercle.

En conclusion, la division euclidienne admet toujours d'une à quatre solutions, la solution est unique si et uniquement si a / b est un entier de Gauss. Dans notre exemple, les trois solutions acceptables sont :

s_1=2+3.i\quad s_2=2+2.i\quad s_3=3+3.i

L'unicité de la solution n'est pas si importante, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien.

Arithmétique

Article détaillé : Anneau euclidien.

La division euclidienne possède des propriétés fortes. Elle sert à construire une arithmétique complète. On parle alors d'anneau euclidien. Cette arithmétique est comparable à celle des entiers.

Anneau principal

Un anneau principal est un anneau dont l'ensemble des idéaux sont principaux. L'anneau des entiers de Gauss est principal. Cette propriété est vraie pour tout anneau euclidien.

Pour s'en rendre compte il suffit de considérer un parfait I quelconque et un élément x différent de 0, de plus petite norme dans I. Si y est un élément quelconque de l'idéal, la division de y par x montre que le reste, élément de l'idéal possède une norme plus petite que x, par conséquent est nul.

Identité de Bézout

Comme dans tout anneau euclidien, l'identité de Bézout se généralise aux entiers de Gauss. Elle s'exprime de la manière suivante :

  • Soit l'équation a. x + b. y = ca, b et c sont des entiers de Gauss. Soit d le pgcd de a et b. Alors cette équation admet des solutions dans l'anneau des entiers de Gauss si, et uniquement si, c est un multiple de d.

La démonstration est élémentaire, une division par d ramène au cas ou a et b n'ont pas de diviseurs communs autres que les éléments inversibles. La totalité des éléments z de la forme z = a. x + b. y est un parfait contenant celui génèré par a et celui génèré par b, il est par conséquent génèré par un diviseur de a et de b, c'est-à-dire une unité. Or l'idéal génèré par une unité est l'anneau entier et 1 est solution de l'équation.

Lemme d'Euclide

Le lemme d'Euclide indique que :

  • Si un entier de Gauss a divise un produit d'entiers de Gauss b. c et si a n'a de diviseurs en communs avec b que des éléments inversibles, alors a divise c.

La démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs. Cette propriété est vraie pour l'ensemble des anneaux euclidiens.

Gauss est le premier mathématicien ayant saisi la portée de ce lemme. Il garantit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Ce lemme rend envisageable l'arithmétique tel que nous la connaissons dans Z. C'est pourquoi il prend quelquefois le nom de lemme de Gauss, tandis qu'il était déjà connu depuis plus de deux mille ans.

Théorème essentiel de l'arithmétique

Le théorème essentiel de l'arithmétique s'énonce toujours précisément comme dans le cas des entiers relatifs :

  • Chaque entier de Gauss peut être écrit comme un produit de nombres premiers aux éléments inversibles près d'une unique façon.

Un nombre premier de Gauss est un élément qui n'admet comme diviseur que le produit de lui-même par une unité ou une unité et qui n'est pas une unité. L'expression aux éléments inversibles près veut dire que la subsitution d'un facteur irréductible par un autre facteur irréductible ne différant que par le produit d'une unité n'est pas reconnue comme une décomposition différente.

Une fois toujours la démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs, et la propriété est vraie pour l'ensemble des anneaux euclidiens. Cette propriété dépasse le cas des anneaux euclidiens, par exemple l'anneau des polynômes sur Z vérifie cette propriété mais n'est pas euclidien. Un tel anneau se nomme un anneau factoriel.

Un anneau satisfaisant ce théorème dispose alors des notions de ppcm et pgcd et le passage au quotient donne accès à une arithmétique modulaire de même nature que celle des entiers relatifs.

La connaissance fine de cette arithmétique suppose une capacité à caractériser les nombres premiers de Gauss.

Voir aussi

Notes

  1. Adrien-Marie Legendre, Théorie des nombres, 1798.
  2. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticæ, 1801.
  3. Ernst Kummer, Nombres complexes idéaux, 1846
  4. Richard Dedekind, Leçons d'algèbre, 1871
  5. David Hilbert, Théorie algébrique des corps de nombres, 1897

Liens externes

Références

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Gauss.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu