Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés et.

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Infini - Espace topologique remarquable - Analyse réelle - Compacité

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Ce symbole est une constante définie comme suit : Pour tout nombre réel x... Ou de définir la " droite réelle achevée ". Etc. Ainsi qu'à ne pas confondre avec la... (source : les-mathematiques)
ainsi obtenu, est nommé droite réelle achevée. Les éléments et sont non réels... Sur le nouvel ensemble ainsi défini, on prolonge la relation d'ordre... (source : caseeworld)
La droite réelle achevée est par conséquent continue au sens topologique moderne. De même l'intervalle fermé [0, 1] ou tout autre intervalle réel fermé borné.... (source : books.google)

En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés $+ \infty$ et $- \infty$ (qui ne sont pas des nombres). On la note $\overline{\mathbb{R}}$ (la barre symbolise ici le voisinage), [−∞, +∞] ou $\mathbb{R}$ ∪ {−∞, +∞}.

Cet ensemble est particulièrement utile en analyse, et spécifiquement dans certaines théories de l'intégration.

Propriétés

+∞ et -∞ sont définis par les propriétés suivantes :

pour tout réel x, x < $+ \infty$ ,
pour tout réel x, x > $- \infty$

L'une des particularités notables de cet ensemble est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une limite supérieure et une limite inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet $+ \infty$ comme limite inférieure, et $- \infty$ comme limite supérieure).

Opérations

L'addition et la multiplication définis sur la totalité des réels restent valables dans la droite achevée.

Addition

Pour tout réel x,
- x + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )
- x + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )
- ( $+ \infty$ ) + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )
- ( $- \infty$ ) + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

Multiplication

Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
- $x \times (+ \infty)$ = ( $+ \infty$ )
- $x \times (- \infty)$ = ( $- \infty$ )

Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
- $x \times (+ \infty)$ = ( $- \infty$ )
- $x \times (- \infty)$ = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

( $- \infty) \times (- \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

Opérations indéterminées

( $+ \infty$ ) + ( $- \infty$ ) n'est pas défini.

La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions $0 \times (+ \infty)$ et $0 \times (- \infty)$ n'ont aucun sens.

Voir aussi

Compactifié d'Alexandroff

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