Droite réelle achevée
En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés et.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
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- La droite réelle achevée est par conséquent continue au sens topologique moderne. De même l'intervalle fermé [0, 1] ou tout autre intervalle réel fermé borné.... (source : books.google)
En mathématiques, la droite réelle achevée sert à désigner la totalité constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés et
(qui ne sont pas des nombres). On la note
(la barre symbolise ici le voisinage), [−∞, +∞] ou
∪ {−∞, +∞}.
Cet ensemble est particulièrement utile en analyse, et spécifiquement dans certaines théories de l'intégration.
Propriétés
+∞ et -∞ sont définis par les propriétés suivantes :
- pour tout réel x, x <
,
- pour tout réel x, x >
L'une des particularités notables de cet ensemble est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une limite supérieure et une limite inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet comme limite inférieure, et
comme limite supérieure).
Opérations
L'addition et la multiplication définis sur la totalité des réels restent valables dans la droite achevée.
Addition
- Pour tout réel x,
- x + (
) = (
)
- x + (
) = (
)
- (
) + (
) = (
)
- (
) + (
) = (
)
- x + (
Multiplication
- Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
= (
)
= (
)
- Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
= (
)
= (
)
() = (
)
() = (
)
() = (
)
Opérations indéterminées
() + (
) n'est pas défini.
La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions et
n'ont aucun sens.
Voir aussi
- Compactifié d'Alexandroff
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