Division par zéro

La division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait, où x serait le dividende.



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  • La division par zéro est , à l'heure actuelle, et selon les plus grands experts, ... À noter que la division par zéro produit des nombres grave imaginaires.... (source : desencyclopedie.wikia)
  • ... La division par zéro est une aberration mathématique...... Il peut même y avoir 0 fois 0 dans 0 puisque tout nombre multiplié par 0 est un... (source : esraonline)
  • La division par zéro est une impossibilité théorique dont la réalité... Pour diviser un nombre a par 0, il faut par conséquent multiplier a par l'inverse de zéro.... (source : axiomcafe)

La division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait \textstyle \frac{x}{0}, où x serait le dividende.

C'est une opération qui n'a pas de sens en mathématiques, et qui est utilisé comme expression pour dire qu'une chose est impossible.

Dans les diverses branches des mathématiques

Pourquoi pas l'infini ?

On entend fréquemment que la division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son ouvrage De l'infini mathématique[1].

Cependant cette convention doit être regardée avec une certaine méfiance. En effet, comme on a pour deux nombres différents n et m les égalités n/0=∞ et m/0=∞, la division n'est plus réversible par multiplication (0*∞ ne peut valoir simultanément n et m), et n'est par conséquent plus définie comme son opération réciproque. Qui plus est , l'infini n'est pas un nombre et par conséquent on ne peut dire que la division d'un entier par un autre entier peut être égale à un concept (l'infini n'est pas un nombre).

Justification par les limites

Graphe de la fonction inverse

Mais en analyse, on peut essayer de donner un sens à la limite de la fonction inverse en 0, c'est-à-dire du quotient \textstyle \frac{1}{x} quand x tend vers zéro. Ainsi, si x sert à désigner un nombre réel, le quotient \textstyle \frac{1}{x} peut avoir une valeur absolue aussi grande qu'on veut, à condition de prendre x suffisamment proche de zéro. On écrit cela :

\lim_{x\to 0}\left|\frac{1}{x}\right|=+\infty

et on dit que la valeur absolue de ce quotient admet pour limite «plus l'illimité» quand x tend vers zéro.
Si on veut se passer de la valeur absolue, il faut distinguer deux cas, selon que x tend vers zéro par valeurs négatives (dans ce cas, le quotient tend vers) ou positives (le quotient tend alors vers).

On écrit : \lim_{x\to 0ˆ+}\frac{1}{x} = +\infty,
et : \lim_{x\to 0ˆ-}\frac{1}{x} = -\infty.

En termes vulgarisés, lorsque x est particulièrement petit, 1/x est particulièrement grand, ce qui peut pousser à convenir que 1/0 vaudrait l'infini. Le problème est que lorsque x est particulièrement petit mais inférieur à 0, 1/x devient particulièrement important en-dessous de zéro. On ne peut par conséquent définir si 1/0 vaudrait plus l'infini ou moins l'infini.

Même dans la droite réelle achevée, qui comprend -∞ et +∞ comme éléments, on ne peut par conséquent pas définir la division par zéro (tandis qu'on a, par exemple, 1/∞=0).

Algèbre

En algèbre, l'impossibilité de diviser par zéro se démontre dans le cadre plus général de la théorie des anneaux.

En effet, on démontre en règle générale que l'élément neutre de la première loi de l'anneau (l'addition pour les nombres réels) est un élément absorbant pour la seconde loi (la multiplication).

Donc pour tout nombre a, a*0=0. Or, la division s'entend comme l'opération réciproque de la multiplication. Diviser x par y, c'est chercher l'élément z tel que z*y=x. Or, comme on vient de le voir, si y vaut 0 et x est un nombre autre que zéro, aucun nombre z ne peut satisfaire une telle propriété. Si y est 0 et x aussi, z peut être n'importe quoi.

C'est pourquoi la division par zéro n'a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais d'une façon plus générale dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis-à-vis de l'addition et de la multiplication (ce qu'on nomme un anneau). Il n'y a par conséquent pas d'espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l'inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la racine carrée de − 1), sauf si on accepte de perdre des propriétés principales du calcul algébrique courant (surtout la distributivité de la multiplication sur l'addition).

Le seul anneau où la notion de division par zéro aurait un sens serait réduit à un seul élément, ce qu'on exclut généralement de la définition d'un anneau (qui requiert mais aussi 0 et 1 soient différents).

Analyse

En analyse, occasionnellemen, il est envisageable de calculer la limite d'un quotient dont le dénominateur est une suite ou une fonction de limite nulle.

A titre d'exemple, un cas évident est celui de la fonction f :x->x²/x. En théorie, on devrait dire que f (0) ne peut être calculé car implique une division par 0. Mais pour tout x autre que 0, on peut simplifier l'expression en f (x) =x. Il est alors évident qu'on peut écrire f (0) =0 comme limite (valeur dont f (x) devient «illimitément proche» lorsque x devient «illimitément proche» de 0, pour donner une idée du concept).

Évidemment, la problème n'apparaît pas nécessairement en approchant la valeur 0 pour l'argument de la fonction. A titre d'exemple, pour la fonction g :x->1/ (x-3), c'est lorsque x vaut 3 qu'on a un problème de type «division par zéro».

Suivant les expressions qu'on trouve au numérateur et au dénominateur, une expression comprenant une division par zéro peut avoir pour limite 0, un autre nombre, +∞ (plus l'infini), -∞, ou rester indéterminée. Quelques exemples :

Comme piège de raisonnement

Dans les pseudo-démonstration d'égalité entre nombres, la méthode la plus courante consiste à démontrer que x=y, tandis que c'est trivialement faux (exemple : x=1, y=2) en démontrant en fait que 0*x = 0*y (ce qui, on l'a dit plus haut, est vrai pour l'ensemble des nombres), puis en divisant par zéro des deux côtés pour simplifier (il est vrai que z*x=z*y démontre que x=y pour tout nombre z autre que 0).

L'astuce consiste à compliquer les expression de telles manières qu'on effectue la "simplification par zéro" en divisant par une expression si compliquée que le lecteur ne s'aperçoit pas qu'elle vaut 0.

Tentatives plus poussées

Le docteur en mathématiques Jesper Carlström a fait l'inventaire des méthodes proposées pour étendre les ensembles mathématiques en autorisant la division par zéro. Généralementisant les constructions auparavant proposées, il obtient une structure nommée wheel, c'est-à-dire «roue», allusion au fait que cette structure s'obtient en complétant un anneau.

Comme déjà dit, la totalité autorisant la division par zéro n'est même plus un anneau. Et dans cet ensemble, si l'égalité xx = 0 * x2 reste vraie, cela ne veut pas dire nécessairement que xx = 0[2].

Le professeur d'informatique James Anderson proposa pour sa part d'ajouter les deux illimités et un nouveau nombre nommé nullity (qu'on obtient, par exemple, en faisant 0/0) pour autoriser la division par zéro dans l'ensemble des cas. Les critiques remarquèrent que cela revenait environ au même que la convention déjà utilisée en informatique (voir plus bas), à cela près que la réponse des ordinateurs pour une forme indéterminée, NaN (ce qui signifie : «pas un nombre») est nommée un nombre, et qu'une de ses propriétés conventionnelles change[3].

En informatique

En informatique, suivant le standard IEEE, un résultat est prévu pour la division par 0.

Tout nombre positif non-nul divisé par 0 donne Inf (l'infini), tandis qu'un nombre négatif donne -Inf. Cependant il est aussi prévu que le diviseur ait une valeur de zéro, tout en ayant son signe négatif (-0). Dans ce cas, le signe de l'infini est inversé. Techniquement, cela vient du fait que dans le codage des nombres à virgule flottante en informatique, un bit indique si le nombre est positif ou négatif, les autres bits représentant la valeur absolue.

De plus, il faut noter qu'on peut trouver zéro comme produit de deux nombres non-nuls, s'ils sont si petits que leur produit est inférieur au plus petit nombre représentable, ou comme résultat d'autres opérations pour lesquelles la précision des nombres tels qu'évalués par l'ordinateur joue. La division par zéro en informatique peut par conséquent se produire même lorsque le modèle prédit qu'une variable ne peut pas faire zéro.

0/0 donne pour sa part NaN («Not a Number», ce qui veut dire en anglais «pas un nombre»), tout comme de multiplier Inf ou -Inf par 0, ou de soustraire Inf à Inf. Par conséquent si on a quelque part effectué une division par zéro, on trouve ensuite fréquemment une variable qui vaut NaN.

Ce qui arrive après une division par zéro dépend des choix faits par le programmeur, mais il est assez fréquemment préférable de prévoir que le programme interrompe son exécution dès qu'une variable vaut Inf, -Inf ou NaN, plutôt que de le laisser continuer à se dérouler en se basant sur de telles valeurs, qui sont assez inutilisables pour prendre des décisions.

A titre d'exemple, supposons qu'on souhaite comparer deux nombres x et y ; on obtient en fait les quantités z*x et z*y. On les redivise par z. Finalement, si z valait en fait 0, on obtient NaN pour les deux valeurs, ce qui ne permet pas de déterminer laquelle des deux est la plus grande. Même si les ordinateurs ont des réponses conventionnelles pour ces comparaisons, il est fréquemment préférable que le programme envoie un message d'alerte pour signaler qu'en raison d'une division par zéro, les résultats sont inutilisables.

D'autres calculateurs ont comme convention de renvoyer l'erreur spécifique «division par zéro». C'est le plus souvent le cas des calculatrices de poche. Exemple spécifique, le logiciel de mathématiques Maple renvoie une erreur si la division est faite sous forme symbolique (par exemple 1/0 ou π/0), mais «l'infini des flottants» (ou moins l'infini) si un des nombres est à virgule flottante.

Notes et références

  1. Extrait du livre dans Google livres
  2. http ://www2. math. su. se/∼jesper/research/wheels/wheels. pdf
  3. http ://scienceblogs. com/goodmath/2006/12/nullity_the_nonsense_number_1. php

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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