Distance entre deux points sur le plan cartésien

Dans le plan cartésien, les points sont définis avec leurs coordonnées dites cartésiennes.



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Mathématiques élémentaires - Distance et longueur

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Dans le plan cartésien, les points sont définis avec leurs coordonnées dites cartésiennes.

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Soit deux points A et B dans le plan cartésien. On nomme (xA, yA) les coordonnées du point A et (xB, yB) les coordonnées du point B : alors la distance AB sur le plan vaut :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)ˆ2 + (y_B-y_A)ˆ2}

Démonstration

Soit C le point de coordonnées cartésiennes (xA;yB) .
x_A = x_C \Rightarrow AC = |y_C-y_A| et (AC) est verticale ;
y_B = y_C \Rightarrow BC = |x_C-x_B| et (BC) est horizontale ;

donc (AC)\perp(BC).

D'après le théorème de Pythagore,

\begin{align} ABˆ2 &= BCˆ2+ACˆ2\\
&= |x_C-x_B|ˆ2 + |y_C-y_A|ˆ2\\
&= |x_A-x_B|ˆ2 + |y_B-y_A|ˆ2\\
&= (x_B-x_A)ˆ2 + (y_B-y_A)ˆ2\\
\Rightarrow AB &= \sqrt{(x_B-x_A)ˆ2 + (y_B-y_A)ˆ2}nd{align}

On retrouve la formule donnée plus haut.

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