Discriminant

En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré.



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Équation polynomiale - Déterminant

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Incidence du signe du discriminant sur les racines de l'équation du second degré à cœfficients réels.

En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les cœfficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple.

Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage sert à mieux comprendre les coniques et les quadriques généralement. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.

Polynôme du second degré

Résolution de l'équation à cœfficients réels

Article détaillé : Équation du second degré.

Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois cœfficients réels tel que a est différent de zéro :

axˆ2 + bx + c = 0 \;

Discriminant de l'équation du deuxième degré —  Le discriminant de l'équation précédente est le nombre Δ défini par :

\Delta = bˆ2 - 4ac\;

La connaissance du discriminant sert à résoudre l'équation :

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :

axˆ2 + bx + c =a(x + \frac b{2a})ˆ2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}\;

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Résolution de l'équation à cœfficients complexes

Article détaillé : Racine de nombre complexe.

Si les cœfficients a, b et c sont complexes ou si les solutions complexes de l'équation sont admises, la situation est légèrement différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans la totalité des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ2 soit égal à Δ :

Racines complexes —  Si le discriminant est différent de zéro, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double égal à -b / 2a.

Discriminant réduit

Si on écrit l'équation du second degré sous la forme suivante :

axˆ2 + 2b'x + c = 0 \;

Il devient plus simple d'utiliser une autre expression :

Discriminant réduit —  Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre Δ'défini par :

\Delta' = b'ˆ2 - ac\;

L'expression des racines, si elles existent, devient :

x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'ˆ2 = \Delta' = b'ˆ2 - ac

Exemples

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

5xˆ2 - 5x + 1 = 0 \;

Le calcul du discriminant Δ et des racines x1 et x2 donne :

 \Delta = (-5)ˆ2 -4P1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}

Dans le cas de l'équation suivante, on remarque que le discriminant réduit est nul, il n'existe qu'une racine égale à -3.

xˆ2 + 6x + 9 = 0 \quad\text{et}\quad xˆ2 + 6x + 9 = (x + 3)ˆ2\;

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à -3. On remarque de i√3 est une racine carrée du discriminant, si i sert à désigner l'unité imaginaire. Ce qui sert à déterminer les solutions :

xˆ2 + x + 1 = 0 \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac 12 + i\frac \sqrt 32,\quad x_1 = - \frac 12 - i\frac \sqrt 32

On peut remarquer que ces deux racines sont des racines de l'unité. A la puissance trois, ces racines ont pour valeur un. Le polynôme choisi est un cas spécifique de polynôme cyclotomique.

Forme quadratique en dimension deux

Article détaillé : Forme quadratique.
Si le discriminant de la forme quadratique est négatif, la totalité des points de R2 défini par φ (x, y) = a est une hyperbole. Si a est positif, on obtient une courbe analogue à celle en bleu, si a est négatif en vert. Si a est égal à zéro l'hyperbole est dégénérée, on obtient la figure rouge.

Sur la totalité des nombres réels, une forme quadratique φ en dimension deux associe à deux variables x et y un nombre avec la formule suivante :

\varphi(x,y) = axˆ2 + bxy + cyˆ2 \quad\text{avec}\quad a,b,c \in \mathbb K

Une forme quadratique possède aussi une expression matricielle :

 \varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}

Le déterminant de l'expression matricielle est égal à -1/4 (b2 - 4ac), on retrouve une expression proche de la précédente. Un changement de base, avec une matrice de passage P modifie la valeur du déterminant. Plus précisément la valeur dans la nouvelle base est égale à la valeur dans l'ancienne base que multiplie le carré du déterminant de P, le signe du déterminant reste invariant. Cette propriété est analysée dans l'article détaillé.

Pour cette raison, il existe trois définitions différentes du discriminant d'une forme quadratique en dimension deux. Le discriminant d'une forme quadratique dans une base B est le déterminant de la matrice associée à la forme quadratique dans la base B. L'ressemblance avec la situation précédente sert à définir le discriminant de la forme quadratique comme étant égal à b2 - 4ac. Enfin, comme l'unique invariant associé au déterminant de la forme quadratique, le discriminant est aussi défini comme le signe du déterminant qui peut prendre les valeurs +1, 0 ou -1.

Le discriminant sépare les formes quadratiques en trois familles. En dimension deux, avec pour définition du discriminant la valeur du déterminant dans la base canonique, si le discriminant est de signe positif pour une valeur a donnée la totalité Ea des points (x, y) vérifiant φ (x, y) = a correspond à une ellipse ou à la totalité vide. Si le discriminant est nul, alors la totalité Ea correspond à une parabole. Si le discriminant est négatif, Ea est une hyperbole. Les formes quadratiques permettent ainsi d'obtenir les trois différentes formes de coniques.

Polynôme de degré quelconque

L'extraction de racine d'un polynôme à l'aide du discriminant ne se généralise pas aux degrés supérieurs à deux. Le discriminant d'un polynôme garde néanmoins une utilité.

Dans le cas des équations de degré deux, le discriminant est nul si et uniquement si le polynôme possède une racine multiple. L'existence de racine multiple peut avoir d'importantes conséquences. En algèbre linéaire, la présence de racine multiple dans le polynôme minimal d'un endomorphisme modifie sa nature. Cette présence interdit la diagonalisation. Sur les extensions des nombres rationnels, les polynômes irréductibles, c'est-à-dire qui ne sont pas factorisables, n'ont jamais de racine multiple (cf l'article Extension séparable) , cette situation n'est pas vraie pour tout les corps. Dans le cadre de la théorie de Galois, cette distinction est importante, les résultats sont différents selon la configuration.

Définition et propriétés

Article détaillé : résultant.

La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil servant à déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A sert à désigner un anneau commutatif, unitaire et intègre et P[X] un polynôme de degré n dont les cœfficients sont notés de la manière suivante :

P = a_nXˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;\text{et}\quad a_n \neq 0

La dérivée formelle de P est notée P', elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R sert à désigner le résultant, c'est-à-dire une application qui à deux polynômes associe un élément de A.

  • Le discriminant de P, généralement noté Δ (P), est la valeur définie par la formule suivante[1] quand deg (P') = n − 1 (avec n = deg (P) )  :
\Delta(P) = \frac{(-1)ˆ\frac{n(n-1)}{2}}{a_n}R(P,P')

Le cœfficient de normalisation possède son importance, un discriminant peut aussi être interprété comme un volume orienté. L'usage d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une forme quadratique ou d'un anneau de Dedekind dans le cadre de la théorie algébrique des nombres.

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau A des cœfficients. Comme A est commutatif unitaire intègre, il possède un corps des fractions F commutatif et P peut être reconnu comme un polynôme à cœfficients dans F. Ici K sert à désigner le corps de décomposition de P, c'est-à-dire le plus petit corps contenant F et l'ensemble des racines de P, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

  • Le discriminant du polynôme P est non nul si et uniquement il n'admet aucune racine multiple.

La démonstration est une conséquence générale du résultant démontrée dans l'article détaillé. Si un polynôme n'admet aucune racine multiple, il est qualifié de séparable.

Il existe une formule différente permettant d'exprimer le discriminant, avec racines du polynôme :

  • Soit αi pour i variant de 1 à n, les racines du polynôme P, le discriminant vérifie l'égalité suivante :
\Delta(P)=a_nˆ{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)ˆ2}

Cette propriété démontre la précédente, elle dérive d'une caractéristique du résultant de deux polynômes. Il est nul si et uniquement si les deux polynômes ne sont pas premiers entre eux. [2]

Exemples

\Delta(P) = \frac{(-1)ˆ\frac{2(2-1)}{2}}{a}\begin{vmatrix}
 & a & 2a & 0  &\\
 & b & b  & 2a &\\
 & c & 0  & b  &\\

\end{vmatrix} =  -\begin{vmatrix}
 & 1 & 2  & 0 &\\
 & b & b  & 2a&\\
 & c & 0  & b &\\
\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a &\\ 0 & b &\\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a &\\ c & b &\\ \end{vmatrix}
=  bˆ2 - 4ac
P = Xˆ3 + aXˆ2 + bX + c \;

On obtient[3] :

\Delta(P) = (-1)ˆ\frac{3(3-1)}{2}\begin{vmatrix}
 & 1 & a & b & c & 0\\
 & 0 & 1 & a & b & c &\\
 & 3 & 2b & c & 0 & 0 &\\
 & 0 & 3 & 2b & c & 0 &\\
 & 0 & 0 & 3 & 2b & c &\\
\end{vmatrix} = aˆ2bˆ2 + 18abc - 4bˆ3 - 4aˆ3c - 27cˆ2\;

L'expression est légèrement complexe, pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions pour obtenir un polynôme de la forme suivante, le discriminant est alors plus simple :

P = Xˆ3 + pX + q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -4pˆ3 - 27qˆ2\;

Dans le cas d'une équation polynomiale de degré 3 à cœfficients réels, si le discriminant est strictement négatif l'équation admet trois solutions réelles, si le déterminant est nul une racine est multiple et toutes sont réelles, si le déterminant est strictement positif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes conjugués.

Expression générale

L'expression générale du discriminant du polynôme P défini par :

P = a_nXˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;

est la suivante :

\Delta(P)=(-1)ˆ\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix}
 
1       & 0      & \cdots & 0      & n           & 0           & \cdots & 0           \\
a_{n-1} & a_n    & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1}& na_n        & \ddots & \vdots      \\
\vdots  & a_{n-1}& \ddots & 0      & \vdots      & (n-1)a_{n-1}& \ddots & 0           \\
a_0     & \vdots & \ddots & a_n    & a_0         & \vdots      & \ddots & na_n        \\
0       & a_0    &        & a_{n-1}& 0           & a_0         &        & (n-1)a_{n-1}\\
\vdots  & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots       & \ddots      & \ddots & \vdots      \\
0       & \cdots & 0      & a_0    &0            & \cdots      & 0      & a_0         \\
\end{vmatrix}

Discriminant d'un anneau d'entiers algébrique

Article détaillé : forme trace.

La théorie algébrique des nombres utilise la notion de discriminant à partir d'une définition qui semble bien différente. Elle correspond à un déterminant d'une forme quadratique et s'applique à un anneau A. Les deux définitions sont néanmoins intimement corrélées. S'il existe un entier algébrique a tel que l'anneau A est égal à Z[a], ici Z sert à désigner les entiers relatifs, alors le polynôme minimal de a possède ses cœfficients dans Z. Son discriminant au sens des polynômes est égal au discriminant de l'anneau au sens de la théorie algébrique des nombres.

Notes et références

Notes

  1. Cette définition est fréquente. On la trouve, par exemple dans Polynomial Discriminant par E. W. Weisstein de Mathworld ou encore Résultant et discriminant par bibmath. Cependant le cœfficient de normalisation n'est pas forcément présent. C'est par exemple le choix pris dans le site Résultant. Discriminant des mathématiques. net
  2. La démonstration proposée ici provient du site The geometry of the discriminant of a polynomial par R. W. D. Nickalls et R. H. Dye The Mathematical Gazette 1996; 80 Juillet pp 279–285
  3. Cette formule se trouve par exemple dans l'article de l'encyclopédia britanica discriminant

Liens externes

Références

Recherche sur Amazon (livres) :



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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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