Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme ...

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développement limité de f `a l'ordre n nous donne un polynôme de degré... Taylor-Young nous donne un développement limité `a n'importe quel ordre n, ... (source : perso.univ-rennes1)

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D. L. ) d'une fonction $f$ au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

d'une fonction polynôme ;
et d'un reste qui peut être négligé quand la variable est suffisamment proche du point reconnu.

En physique, il est habituel de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c'est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire.

En mathématique, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes comparé à des tangentes.

L'étude des développements limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières, mais aussi par celle des développements asymptotiques.

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$ . On dit que $f$ possède un développement limité d'ordre n (abrégé par D. L. _n) en $x 0$ , s'il existe $n + 1$ réels $a 0, a 1, ..., a n$ et une fonction $R : I \rightarrow \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in I$ :

$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)ˆ2 + ... + a_n(x - x_0)ˆn +R(x ) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot (x - x_0)ˆi + R(x )$

avec

R (x)

qui tend vers 0 quand

x

tend vers

x 0

, et ce «plus rapidement» que le dernier terme de la série. C'est-à-dire que :

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)ˆn} = 0$

Les fonctions vérifiant ceci sont notées $o ( (x - x 0) n)$ . On écrit donc : $f(x) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot (x - x_0)ˆi + o((x - x_0)ˆn)$

Note : Le nombre $n$ est nommé ordre de développement.

Il est habituel de chercher un développement limité au voisinage de 0. L'expression d'un tel D. L. se trouve être plus simple. En posant $x = x 0 + h$ , on a :

$f(x) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot (x - x_0)ˆi + o((x - x_0)ˆn)$ qui se réécrit en $f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot hˆi + o(hˆn)$

Conséquences immédiates: On a $a 0 = f (x 0)$

Démonstration

En utilisant la forme du D. L. _n en $x_0 : \quad f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot hˆi + o(hˆn)$ , on a pour h = 0 :

$f(x_0 + 0) = a_0 + a_1 \cdot 0ˆ1 + ... + a_n \cdot 0ˆn + 0$

D'où $f (x 0) = a 0$

Si une fonction admet un D. L. _n au voisinage de

x 0

, alors ce développement est unique.

Démonstration

Soit $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ , une fonction admettant un D. L. d'ordre n en $x 0$ . On suppose qu'il existe deux suites de réels $(a_0, a_1, ..., a_n)\ et\ (b_0, b_1, ..., b_n)$ telles que :

$f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}ˆn a_i \cdot hˆi + o_1(hˆn)= \sum_{i = 0}ˆn b_i \cdot hˆi + o_2(hˆn)$

On a alors :

$a_0 = f(x_0) = b_0 \qquad pour\ h = 0,$

$a_1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0}{h} = b_1$

$a_2 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0 - a_1 \cdot h}{hˆ2} = b_2$

...

$a_n = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - \sum_{j = 0}ˆ{n - 1} a_j \cdot hˆj}{hˆn} = b_n$

Et donc :

$a_i = b_i \quad \forall i \in \{1..n\}$

D'où il y a unicité d'un tel développement limité.

Note : La fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme: Si ƒ et g possèdent deux D. L. _n, alors ƒ + g possède un D. L. _n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.

Multiplication par λ: si ƒ possède un D. L. _n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D. L. _n de ƒ par λ.

Produit: Si ƒ et g possèdent des D. L. _n, alors ƒ·g possède un D. L. _n. Si a_k, b_k et c_k sont les cœfficients de x^k dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le cœfficient c_k est obtenu par la formule suivante :; $c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,$

Inverse: Si u (x₀) = 0 et si u possède un D. L. _n au voisinage de x₀, alors $\frac{1}{1 - u}$ possède un D. L. _n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D. L. _n de; $\sum_{k=0}ˆn uˆk$

Composition

si u possède un D. L. _n au voisinage de x₀ et si v possède un D. L. _n au voisinage de u (x₀), alors v o u possède un D. L. _n au voisinage de x₀ qui s'obtient en cherchant un D. L. _n de Q_n o P_n où P_n et Q_n sont les D. L. _n de u et v

ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de $eˆ{\frac{1}{1-x}}$

D. L. ₂au voisinage de 1 de

e x

$eˆx = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)ˆ2}{2} + o((x - 1)ˆ2))$

rem : le D. L. au voisinage de 1 de $e x$ se trouve en remarquant que $e x = e . e x - 1$ et en utilisant le D. L. de $e h$ au voisinage de 0

D. L. ₂ au voisinage de 0 de $\frac{1}{1-x}$ :

$\frac{1}{1-x} = 1 + x +xˆ2 + o(xˆ2)$

D. L. ₂ au voisinage de 0 de $eˆ{\frac{1}{1-x}}$ :

$eˆ{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x + xˆ2)+ \frac{( x +xˆ2)ˆ2}{2} + o(xˆ2))$

$eˆ{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x +\frac{3}{2} xˆ2 + o(xˆ2))$

Intégration: Si ƒ est continue sur un intervalle I autour de x₀ et possède un D. L. _n au voisinage de x₀, alors toute primitive F de ƒ possède un D. L. _n+1 au voisinage de x₀ qui est; $F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}ˆ{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)ˆ{i+1}$

Dérivation

il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un D. L. _{n - 1} pour la dérivée d'une fonction admettant un D. L. _n au voisinage de x₀.

par exemple la fonction définie par

$f(x) = xˆ3\sin\left(\frac{1}{xˆ2}\right)$ pour tout x non nul et ƒ (0) = 0

possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D. L. ₁.

Par contre si f'admet un D. L. d'ordre n-1 en x_o alors la partie régulière du D. L. de f'est la dérivée de la partie régulière du D. L. d'ordre n de f en x_o.

D. L. _n et fonctions dérivables

Article détaillé : Théorème de Taylor.

Brook Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x₀, possédait un D. L. _n au voisinage de x₀ :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)ˆ2 + ...+ \frac{fˆ{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)ˆn + o((x-x_0)ˆn)$

soit en écriture abrégée

$f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}ˆn \frac{fˆ{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)ˆi + o((x-x_0)ˆn)$

En revanche, le fait qu'une fonction possède un D. L. _n au voisinage de x₀ n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x₀. On peut juste déduire, de l'existence d'un D. L. ₀ au voisinage de x₀, la continuité en x₀, et , de l'existence d'un D. L. ₁ au voisinage de x₀, la dérivabilité en x₀. Par contre si la dérivée de f admet un D. L. d'ordre n-1 en x_o alors la partie régulière du D. L. de $f'$ est la dérivée de la partie régulière du D. L. d'ordre n de f en x_o.

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x₀ :

$f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)$

Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0)$ .

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x₀.

Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe comparé à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le cœfficient du terme de degré 2 soit non nul).

Le changement de variable $h = \frac{1}{x}$ permet, avec un D. L. ₀ au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et , à partir d'un D. L. ₁ au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote.

Quelques exemples

Fonction cos et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des D. L. _n au voisinage de 0 pour tout entier n.

$\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}ˆn xˆi+ \frac{xˆ{n+1}}{1-x}$ une conséquence en est la somme de la série géométrique.
$\ln(1+x) = \sum_{i=1}ˆn \frac{(-1)ˆ{i+1}}{i}xˆi + o(xˆn)$ par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
$eˆ{x} = \sum_{i=0}ˆn \frac{1}{i!}xˆ{i} + o(xˆn)$ (en utilisant la formule de Taylor)
$\sin(x) = \sum_{i=0}ˆn \frac{(-1)ˆ{i}}{(2i+1)!}xˆ{2i+1} + o(xˆ{2n+2})$ à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en $x 2 n + 2$ est nul (comme l'ensemble des autres termes de puissance paire), par conséquent $o (x 2 n + 1) = o (x 2 n + 2)$ .
$\cos(x) = \sum_{i=0}ˆn \frac{(-1)ˆ{i}}{(2i)!}xˆ{2i} + o(xˆ{2n+1})$ ; c'est un D. L. à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en $x 2 n + 1$ est nul (comme l'ensemble des autres termes de puissance impaire), par conséquent $o (x 2 n) = o (x 2 n + 1)$ .
$(1+x)ˆa = 1+\sum_{i=1}ˆn \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}ˆ{i-1} (a-j)\right)xˆi + o(xˆn)$

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles :

$(1+x)ˆa = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}xˆ2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}xˆ3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2).. -n+1)}{n!}xˆn + o(xˆn)$

$\frac{1}{1-x} = 1+x+xˆ2+xˆ3+\cdots+xˆn+o(xˆn)$

$\frac{1}{1+x} = 1-x+xˆ2-xˆ3+\cdots+(-1)ˆnxˆn+o(xˆn)$

$\ln(1-x) = -x-\frac{xˆ2}{2}-\frac{xˆ3}{3}-\cdots-\frac{xˆ{n+1}}{n+1}+o(xˆ{n+1})$

$\ln(1+x) = x-\frac{xˆ2}{2}+\frac{xˆ3}{3}-\cdots+(-1)ˆn\frac{xˆ{n+1}}{n+1}+o(xˆ{n+1})$

$eˆ{x} = 1+x+\frac{xˆ2}{2!}+\frac{xˆ3}{3!}+\cdots+\frac{xˆn}{n!}+o(xˆn)$

$\cos(x) = 1-\frac{xˆ2}{2!}+\frac{xˆ4}{4!}-\cdots+(-1)ˆn\frac{xˆ{2n}}{(2n)!}+o(xˆ{2n+1})$

$\sin(x) = x-\frac{xˆ3}{3!}+\frac{xˆ5}{5!}-\cdots+(-1)ˆn\frac{xˆ{2n+1}}{(2n+1)!}+o(xˆ{2n+2})$

$\tan(x) = x+\frac{xˆ3}{3}+\frac{2xˆ5}{15}+\frac{17xˆ7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n} (-4)ˆn (1-4ˆn)}{(2n)!} xˆ{2n-1} +o(xˆ{2n})$ où les $B n$ sont les nombres de Bernoulli

${\rm ch}(x) = 1+\frac{xˆ2}{2!}+\frac{xˆ4}{4!}+\cdots+\frac{xˆ{2n}}{(2n)!}+o(xˆ{2n+1})$

${\rm sh}(x) = x+\frac{xˆ3}{3!}+\frac{xˆ5}{5!}+\cdots+\frac{xˆ{2n+1}}{(2n+1)!}+o(xˆ{2n+2})$

${\rm th}(x) = x-\frac{xˆ3}{3}+\frac{2xˆ5}{15}+o(xˆ5)$

${\rm Arcsin}(x) = x+\frac{xˆ3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot xˆ5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) xˆ{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(xˆ{2n+2})$

${\rm Arccos}(x) = \frac\pi 2-x-\frac{xˆ3}{2 \cdot 3}-\frac{1 \cdot 3 \cdot xˆ5}{2 \cdot 4 \cdot 5}-\cdots-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) xˆ{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(xˆ{2n+2})$

${\rm Argsh}(x) = x-\frac{xˆ3}{2 \cdot 3}-\cdots+(-1)ˆn\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)xˆ{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(xˆ{2n+2})$

${\rm Arctan}(x) = x-\frac{xˆ3}{3}+\frac{xˆ5}{5}- \cdots +(-1)ˆn\frac{xˆ{2n+1}}{2n+1}+o(xˆ{2n+2})$

${\rm Argth}(x) = x+\frac{xˆ3}{3}+ \cdots +\frac{xˆ{2n+1}}{2n+1}+o(xˆ{2n+2})$

Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1

On utilise souvent des développements limités d'ordre 1, qui permettent de favoriser les calculs, quand on n'exige pas une trop grande précision :

en 0 : , surtout
- $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x + o(x)$ ,
- $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + o(x)$
en 0 : fonctions trigonométriques
- $\sin x = x + o(xˆ2)\qquad {\rm Arcsin } x = x + o(xˆ2)$
- $\tan x = x + o(xˆ2)\qquad {\rm Arctan } x = x + o(xˆ2)$
- $\cos x = 1- \frac{xˆ2}{2} + o(xˆ3)\qquad$

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