Développement limité
En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme ...
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- développement limité de f `a l'ordre n nous donne un polynôme de degré... Taylor-Young nous donne un développement limité `a n'importe quel ordre n, ... (source : perso.univ-rennes1)
En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D. L. ) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :
- d'une fonction polynôme ;
- et d'un reste qui peut être négligé quand la variable est suffisamment proche du point reconnu.
En physique, il est habituel de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c'est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire.
En mathématique, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes comparé à des tangentes.
L'étude des développements limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières, mais aussi par celle des développements asymptotiques.
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et . On dit que f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par D. L. n) en x0, s'il existe n + 1 réels a0, a1, ..., an et une fonction
tels que
:
- avec R (x) qui tend vers 0 quand x tend vers x0, et ce «plus rapidement» que le dernier terme de la série. C'est-à-dire que :
Les fonctions vérifiant ceci sont notées o ( (x − x0) n) . On écrit donc :
Note : Le nombre n est nommé ordre de développement.
Il est habituel de chercher un développement limité au voisinage de 0. L'expression d'un tel D. L. se trouve être plus simple. En posant x = x0 + h, on a :
qui se réécrit en
- Conséquences immédiates
- On a a0 = f (x0)
En utilisant la forme du D. L. n en , on a pour h = 0 :
D'où f (x0) = a0
- Si une fonction admet un D. L. n au voisinage de x0, alors ce développement est unique.
Soit , une fonction admettant un D. L. d'ordre n en x0. On suppose qu'il existe deux suites de réels
telles que :
On a alors :
- ...
Et donc :
D'où il y a unicité d'un tel développement limité.
Note : La fonction f peut être à valeurs vectorielles.
Opérations sur les développements limités
- Somme
- Si ƒ et g possèdent deux D. L. n, alors ƒ + g possède un D. L. n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
- Multiplication par λ
- si ƒ possède un D. L. n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D. L. n de ƒ par λ.
- Produit
- Si ƒ et g possèdent des D. L. n, alors ƒ·g possède un D. L. n. Si ak, bk et ck sont les cœfficients de xk dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le cœfficient ck est obtenu par la formule suivante :
- Inverse
- Si u (x0) = 0 et si u possède un D. L. n au voisinage de x0, alors
possède un D. L. n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D. L. n de
- Composition
- si u possède un D. L. n au voisinage de x0 et si v possède un D. L. n au voisinage de u (x0), alors v o u possède un D. L. n au voisinage de x0 qui s'obtient en cherchant un D. L. n de Qn o Pn où Pn et Qn sont les D. L. n de u et v
- ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de
- D. L. 2au voisinage de 1 de ex :
- rem : le D. L. au voisinage de 1 de ex se trouve en remarquant que ex = e. ex − 1 et en utilisant le D. L. de eh au voisinage de 0
- D. L. 2 au voisinage de 0 de
:
- D. L. 2 au voisinage de 0 de
:
- Intégration
- Si ƒ est continue sur un intervalle I autour de x0 et possède un D. L. n au voisinage de x0, alors toute primitive F de ƒ possède un D. L. n+1 au voisinage de x0 qui est
- Dérivation
- il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un D. L. n - 1 pour la dérivée d'une fonction admettant un D. L. n au voisinage de x0.
- par exemple la fonction définie par
pour tout x non nul et ƒ (0) = 0
- possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D. L. 1.
- Par contre si f'admet un D. L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D. L. de f'est la dérivée de la partie régulière du D. L. d'ordre n de f en xo.
D. L. n et fonctions dérivables
Brook Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D. L. n au voisinage de x0 :
soit en écriture abrégée
En revanche, le fait qu'une fonction possède un D. L. n au voisinage de x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0. On peut juste déduire, de l'existence d'un D. L. 0 au voisinage de x0, la continuité en x0, et , de l'existence d'un D. L. 1 au voisinage de x0, la dérivabilité en x0. Par contre si la dérivée de f admet un D. L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D. L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D. L. d'ordre n de f en xo.
Quelques utilisations
Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x0 :
Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :
.
Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.
Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe comparé à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le cœfficient du terme de degré 2 soit non nul).
Le changement de variable permet, avec un D. L. 0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et , à partir d'un D. L. 1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote.
Quelques exemples


Les fonctions suivantes possèdent des D. L. n au voisinage de 0 pour tout entier n.
une conséquence en est la somme de la série géométrique.
par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
(en utilisant la formule de Taylor)
à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x2n + 2 est nul (comme l'ensemble des autres termes de puissance paire), par conséquent o (x2n + 1) = o (x2n + 2) .
; c'est un D. L. à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x2n + 1 est nul (comme l'ensemble des autres termes de puissance impaire), par conséquent o (x2n) = o (x2n + 1) .
Ces exemples sont en outre développables en séries entières.
Formulaire
Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles :
où les Bn sont les nombres de Bernoulli
Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1
On utilise souvent des développements limités d'ordre 1, qui permettent de favoriser les calculs, quand on n'exige pas une trop grande précision :
- en 0 :
, surtout
,
- en 0 : fonctions trigonométriques
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