Démonstration

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou auparavant démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction.



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  • Une démonstration est une déduction pour laquelle on n'a pas d'hypothèses autres que les axiomes de la théorie.... Ce dernier part de propositions initiales et conduit, quand il est rigoureusement mené, à des conséquences qui en ... (source : ebooks.unibuc)

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou auparavant démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. La proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. En ce cas, elle on l'appelle le plus souvent lemme. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le dispositif de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer parfaite. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et par conséquent que l'ensemble des propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie qu'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple reconnues toujours actuellement comme des modèles de rigueur, tandis qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses «fondements de la géométrie». D'autre part, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être reconnue comme correcte dans les grandes lignes, tandis que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, ou alors que d'autres sont entachés d'erreurs «mineures». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détails indispensable n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, des mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des appellations spécifiques.

Incomplétude et indépendance

Il est quelquefois envisageable de démontrer[1] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans un certain dispositif axiomatique dont on aurait néenmoins attendu qu'il puisse formaliser «toutes» les mathématiques ; ainsi l'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Frænkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Frænkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce dispositif d'axiomes : il est par exemple envisageable d'ajouter autant l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit). En réalité, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique «raisonnable»[2] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées tandis qu'elles sont en fait «vraies» ; plus exactement l'ensemble des instances de la proposition par chacun des entiers naturels sont démontrables.

Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des dispositifs déductifs et se nomme pour cela la théorie de la démonstration.

Outils d'aide à la démonstration

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres :

Notes et références de l'article

  1. C'est une démonstration dans la méta-théorie.
  2. On peut vraiment en énoncer les axiomes et , même s'il y en a une illimitété, les décrire exactement de façon finie, un énoncé précis de cette notion de théorie raisonnable repose sur la théorie de la calculabilité.

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