Crochet de Poisson

En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases, par ...



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Analyse à plusieurs variables - Mécanique classique - Opération

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases, par :

\{A,B\} \ = \ \sum_{i=1}ˆN \ \left[ \ \dfrac{\partial A}{\partial qˆi} \ \dfrac{\partial B}{\partial p_i} \ - \ \dfrac{\partial A}{\partial p_i} \ \dfrac{\partial B}{\partial qˆi} \ \right]

où les 2N variables canoniques sont :

Propriétés

\begin{align}\{A,B+C\} &= \{A,B\} + \{A,C\},\\
\{\alpha A,\beta B\} &= \alpha \beta \{A,B\} nd{align}

Équations canoniques

Soit H (qi, pi) le hamiltonien du dispositif reconnu. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

\dot{q}ˆj \ = \  \{qˆj,H\} \ = \ \dfrac{\partial H}{\partial p_j}

et :

\dot{p}_j  \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \dfrac{\partial H}{\partial qˆj}

ou encore, de manière unifiée :

\forall x(t) \in EˆR, \dot{x} = \{x, H\}

E est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque

Cas général

Soit une observable A, c'est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

 \dfrac{\mathrm dA}{\mathrm dt} \ =  \ \dfrac{\partial A}{\partial t} \ + \  \{A,H\}

\tfrac{\partial A}{\partial t} sert à désigner la dérivée partielle de A comparé à une éventuelle dépendance explicite de A comparé au temps.

Cas de l'énergie totale

On obtient pour l'énergie totale du dispositif :

 \dfrac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \ =  \ \dfrac{\partial H}{\partial t}

puisque {H, H} = 0 par antisymétrie.

Théorème de Poisson

Si A et B sont deux «intégrales premières» du dispositif[1], c'est-à-dire si \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dB}{dt}=0, alors \ \{A,B\} en est une aussi.

Démonstration :
Dans le cas où A et B ne dépendent pas explicitement du temps : selon l'identité de Jacobi, on a  \{A,\{B,H\}\} \  + \ \{B,\{H,A\}\} \  + \ \{H,\{A,B\}\} \ = \ 0.
Or \dfrac{dA}{dt}= \{A,H\} =0 et \dfrac{dB}{dt}= \ \{B,H\} =0, par conséquent \ \{H,\{A,B\}\} =0.
Comme \ \{A,B\} ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a \dfrac{d\{A,B\}}{dt} = \{\{A,B\},H\} =0.
D'où la conclusion pour ce cas.
Dans le cas général : on a  \dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ =  \ \dfrac{\partial}{\partial t}\{A,B\} \ + \  \{\{A,B\},H\}
En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient \dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ = \left\{\dfrac{dA}{dt},B \right\}+ \left\{A,\dfrac{dB}{dt} \right\}
La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il sert à passer aisément à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit généralement de faire une substitution :

 \{X,Y\} \ \to \ \dfrac{1}{i\hbar} \ [\widehat{X},\widehat{Y}]

[., . ] sert à désigner le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes

  1. on dit aussi «constante du mouvement»

Bibliographie

Voir aussi

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