Crochet de Lie

Le crochet de Lie est une loi de composition interne sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie.



Catégories :

Topologie différentielle - Groupe de Lie - Algèbre de Lie - Opération

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • L'algèbre de Lie de L s'obtient de manière traditionnelle : soit L : I −→ L de .... de L+ un élément de l'algèbre de Lie du groupe de Lorentz dont le ... (source : math.unicaen)

Le crochet de Lie est une loi de composition interne [, ] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u, v]=uv-vu de deux endomorphismes en forme un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est fréquemment utilisé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Définition générale

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel V sur un corps \mathbb K. Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est toujours un vecteur : \forall x,y\in V,\quad [x,y]\in V), vérifiant les propriétés suivantes :

  1. Bilinéarité :
    • \forall x,x',y\in V,\lambda,\mu\in\mathbb K, [\lambda x+\mu x', y]=\lambda[x,y]+\mu [x',y],
    • \forall x,y,y'\in V,\lambda,\mu\in\mathbb K,[x,\lambda y+\mu y']=\lambda[x,y]+\mu [x,y'].
  2. L'application bilinéaire [., . ] est alternée : \forall x\in V,\quad [x,x]=0
  3. Identité de Jacobi : \forall x,y,z\in V, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.
Remarques

Un crochet de Lie vérifie :

L'antisymétrie implique [x, x] = 0 pour tout corps pour lequel  2\neq 0 (corps de caractéristique différente de deux).

Si on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie x + x', y] = − [y, λx + x'] on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante :x + x', y] = λ[x, y] + [x', y].

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X. f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X, Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

[X,Y]\cdot f = X\cdot (Y\cdot f) -Y \cdot (X\cdot f)

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [, ] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Quand deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Lie.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu