Coquaternion

En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton découvert en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions pourvu d'une opération multiplicative.



Catégories :

Algèbre - Géométrie hyperbolique - Relativité

En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton découvert en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions pourvu d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents.

L'ensemble \{ 1, i, j, k \}\, forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont

i j = k = -j i, ∼ ∼ j k = -i = -k j, ∼ ∼ k i = j = -i k\,
iˆ2 = -1, ∼ ∼ jˆ2 = +1, ∼ ∼ kˆ2 = +1\,.

Avec ces produits la totalité \{1, i, j, k, -1, -i, -j, -k\}\, est isomorphe au groupe diédral d'un carré.

Un coquaternion

q∼= w + x i + y j + z k  \,

possède un conjugué

qˆ* ∼= w - x i - y j - z k et un module multiplicatif :
qqˆ* ∼= wˆ2 + xˆ2 - yˆ2 - zˆ2\,.

Quand le module est différent de zéro, alors q possède un inverse multiplicatif.

U = \{q : qqˆ* \ne 0 \}

est la totalité des unités. La totalité P de l'ensemble des coquaternions forme un anneau (\mathcal{P}, +, \bullet\,) avec le groupe des unités (\mathcal{U}, \bullet)\,.

Soit

q = w + x i + y j + z k, ∼ ∼ u = w + x i, ∼ ∼ v = y + z i

u et v sont des nombres complexes ordinaires. Alors la matrice complexe

\begin{pmatrix}u & v \\ vˆ* & uˆ* \end{pmatrix},

uˆ* = w - xi\, et vˆ* = y - zi\, (conjugués complexes de u et v), représentent q dans l'anneau des matrices dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que la multiplication matricielle. A titre d'exemple, le déterminant de cette matrice uuˆ* - vvˆ* = qqˆ*\,; la naissance de ce signe moins où se trouve un plus dans \mathbb{H}\, conduit au nom alternatif quaternion fendu pour un coquaternion. Historiquement, les coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices de Cayley; les coquaternions (dans le prolongement des quaternions et des tessarines) évoquent une algèbre linéaire plus large.

Profil

Soit

r(\theta) = j∼ cos \theta + k∼ sin \theta\, (ici \theta\, est aussi essentiel que l'azimuth)
p(a,r) = i∼ sinh a + r∼ cosh a\,
v(a,r) = i∼ cosh a + r∼ sinh a\,
E = { r \in P : r = r(\theta), 0 \le \theta < 2 \pi}\,
J = {p(a,r) \in P : a \in R, r \in E}\, caténoïde
I = {v(a,r) \in P : a \in R, r \in E}\, hyperboloïde à deux nappes

Maintenant, il est facile de vérifier que

{q \in P : qˆ2 = + 1} = J \cup {1, -1}\,

et que

{q \in P : qˆ2 = -1} = I\,.

Ces égalités d'ensembles signifient que quand p \in J\, alors le plan

{x + yp : x, y \in R} = D_p\,

est un sous-anneau de P, c'est-à-dire isomorphe au plan des nombres complexes fendus quand v est dans I alors

{x + yv : x, y \in R} = C_v\,

est un sous-anneau planaire de P qui est isomorphe au plan complexe ordinaire C.

Pour chaque r \in E\,, (r + i)ˆ2 = 0 = (r - i)ˆ2\, c'est-à-dire que r + i\, et r - i\, sont nilpotents. Le plan N = {x + y(r + i) : x, y \in R}\, est un sous-anneau de P qui est isomorphe aux nombres duaux. Puisque chaque coquaternion doit relié dans D_p\,, un C_v\,, ou un plan N, ces plans profilent P. A titre d'exemple, la sphère unité

\mathcal{SU}(1, 1) = {q \in \mathcal{P} : qqˆ* = 1}\,

est constituée des "cercles unités" dans les plans constitués de P. Dans D_p\,, c'est une hyperbole, dans N le cercle unité est une paire de droites parallèles, alors que dans C_v\,, c'est vraiment un cercle (bien qu'elle apparaisse elliptique à cause de la compression par v).

Orthogonalité plane

Quand le coquaternion q = w + xi + yj + zk\,, alors la partie réelle de q est w.
Définition : pour les coquaternions différents de zéro q et t, nous écrivons q \bot t\, quand la partie réelle du produit qtˆ*\, est zéro.

Preuve : (qu)(tu)ˆ* = (uuˆ*)qtˆ*\, découle de (tu)ˆ* = uˆ*tˆ*\,, un fait basé sur l'anti-commutativité des vecteurs.

Géométrie de la contre-sphère

Prenons m = x + y i + z r\,r∼= j \cos \theta + k \sin \theta\,. Fixons theta (\theta\,) et supposons

mmˆ* = -1 = x_2 + y_2 - z_2\,.

Puisque les points sur la contre-sphère doivent se trouver sur un contre-cercle dans un certain plan D_p \subset P\,, m peut être écrit, pour un certain p \in J\,

m∼= p \exp{(bp)} = \sinh b + p \cosh b = \sinh b + i \sinh a∼\cosh b + r \cosh a∼\cosh b\,.

Soit \varphi\, l'angle entre les hyperboles de r jusqu'à p et m. Cet angle peut être vu, dans le plan tangent à la contre-sphère à r, par projection :

\tan \varphi = \frac{x}{y} = \frac{\sinh b}{\sinh a ∼\cosh b} = \frac{\tanh b}{\sinh a}.

Comme b peut devenir grand, tanh b est proche d'un. Alors \tan \varphi = \frac{1}{\sinh a}\,. Cette aspect de l'angle de parallélisme dans un méridien \theta\, tend à faire voir la variété de la contre-sphère comme un espace métrique \mathcal{S}ˆ1 \times HP\,HP est le plan hyperbolique.

Application à la cinématique

En utilisant les bases données ci-dessus, on peut montrer que l'application

q \rightarrow uˆ{-1}∼qu\,

est une rotation ordinaire ou hyperbolique suivant que

u = exp(av)\,, v \in I\, ou u = exp(ap)\,, p \in J\,.

Ces applications sont des projections dans la géométrie d'anneau inversible des coquaternions. La collection de ces applications produit une certaine relation avec le groupe de Lorentz puisque il est aussi composé des rotations ordinaires et hyperboliques. Parmi les particularités de cette approche comparé à la cinématique relativiste, on trouve le profil anisotropique, comparé aux quaternions hyperboliques.

Le frein à l'usage des coquaternions pour les modèles cinématiques peut s'expliquer par la signature de l'espace-temps (2, 2) qui est présumé avoir comme signature (1, 3) ou (3, 1). Néanmoins, une cinématique relativiste plus claire apparait quand un point de la contre-sphère est utilisé pour représenter un cadre d'inertie de référence. Si ttˆ* = -1\,, alors, il existe un p \in J\, tel que t \in D_p\,, et un a \in R\, tel que t = p exp(ap)\,. Alors, si u = exp(ap)\, et s = ir\,, la totalité {t, u, v, s}\, est une base orthogonale issue de t, l'orthogonalité se poursuit à travers les applications des rotations ordinaires ou hyperboliques.

Notes historiques et références

Les coquaternions ont été en premier lieu identifiés et appelés dans le London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine, series 3, volume 35, pp. 434, 5 en 1849 par James Cockle sous le titre "On Systems of Algebra involving more than one Imaginary" (Des dispositifs d'algèbre impliquant plus qu'un imaginaire). Lors de la rencontre à Paris en 1900 du Congrès International des Mathématiciens Alexander MacFarlane nomma l'algèbre, le système de quaternions exsphéricaux comme il en a décrit l'aspect. MacFarlane examina un élément différentiel de la sous-variété {q \in P\, : qq * = − 1} (la contre-sphère).

La sphère elle-même a été traitée en allemand par Hans Beck en 1910 (Transactions of the American Mathematical Society , v. 28; e. g. le groupe dihédral apparaît à la page 419). En 1942 et 1947 sont parues deux mentions brèves sur la structure des coquaternions dans les Annales de Mathématiques  :

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Coquaternion.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu