Congruence

Derrière le terme de congruence se cachent des notions identiques mais de niveaux d'abstraction différents. Historiquement, la notion de congruence sur les entiers relatifs a été introduite par Gauss vers 1801.

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n ≠ 0 la congruence modulo n est une relation d'équivalence sur n.... n) ∧ ( (x'-y') ∈ n) ⇒ ( (x-y) + (x'-y') ∈ n) car n est un sous- groupe additif de ... (source : pagesperso-orange)

Derrière le terme de congruence se cachent des notions identiques mais de niveaux d'abstraction différents. Historiquement, la notion de congruence sur les entiers relatifs a été introduite par Gauss vers 1801. ^[1]

En arithmétique modulaire, on dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo p s'ils ont même reste dans la division euclidienne par p. On peut aussi dire qu'ils sont congrus modulo p si leur différence est un multiple de p.

Dans la mesure des angles orientés, on dit que deux mesures sont congrues modulo 2π si et uniquement si leur différence est un multiple de 2π. Cela caractérise deux mesures d'un même angle.
En algèbre, on parle
- de congruence modulo I dans un anneau commutatif (R, +, *) dont I est un idéal :
  
  x est congru à y modulo I si et uniquement si x - y appartient à I.
  
  Cette congruence est une relation d'équivalence, compatible avec les opérations + et * et sert à définir un anneau quotient R/I.
  
  Les deux notions précédentes deviennent alors des cas spécifiques de cette définition plus générale.
- de congruence modulo H dans un groupe G lorsque H est un sous-groupe de G.
  
  x est congru à y modulo H si et uniquement si $x\star yˆ{-1}$ appartient à H.
  
  Cette relation est une relation d'équivalence servant à construire un ensemble quotient qui, si H est un sous-groupe distingué, est un groupe quotient
- de congruence dans un semi-groupe (G, *) pour toute relation d'équivalence compatible avec la loi *. Cette définition est alors plus large que la précédente mais on ne parle alors plus de congruence modulo...
En géométrie riemannienne, une congruence est la totalité des courbes intégrales associées à un champ de vecteurs.
On trouve quelquefois, dans des ouvrages inspirés de la langue anglo-saxonne, le terme de congru mis à la place de semblable. Il s'agit alors d'une simple relation d'équivalence sur la totalité des figures planes.
En psychothérapie, congruence est le terme employé par Carl Rogers pour indiquer une correspondance exacte entre l'expérience et la prise de conscience.
En sciences humaines et sociales et surtout en géographie la congruence est "l'adaptation réciproque". ^[2]
En anatomie, on parle de congruence des surfaces articulaires. Deux surfaces sont congruentes quand il y a un emboitement parfait, c'est le cas de l'articulation coxo-fémorale. Au contraire de l'articulation du genou où les surfaces articulaires sont rendues congruentes par les ménisques.
En phylogénie, on parle de congruence entre deux arbres quand ils sont symétriques et montrent une coévolution entre deux groupes (exemple hôtes/parasites).

↑ TLFI ou Petite encyclopédie des mathématiques p 729
↑ lu dans M Cohou in Le destin d'un voie rapide Ed PUM

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