Composition de fonctions

En mathématiques, la composition de fonctions est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d'en construire une nouvelle.



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Opération - Analyse - Mathématiques élémentaires

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En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, d'en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Définition formelle

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions f:X\to Y et g:Y \to Z. On définit la composée de f par g, notée g \circ f par

\forall x \in X,\ (g\circ f)(x)=g[f(x)].

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On se retrouve par conséquent avec une nouvelle fonction g \circ f: X \to Z.

La notation g \circ f se lit «g rond f», «f suivie de g» ou encore «g après f». On note quelquefois g\circ f(x) pour (g \circ f)(x).

Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

 \begin{matrix} f:&\mathbb R & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & xˆ2 \end{matrix}

et

\begin{matrix} g: & \mathbb R_- & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & \sqrt{-x} \end{matrix}

Ici, le domaine d'arrivée de f est \R_+. Or le domaine de départ de g est \R_- (il n'existe pas de nombre réel tel que son carré soit strictement négatif). La fonction g\circ f n'a par conséquent pas de sens ici (dans la mesure où elle n'est vérifiée que pour une seule valeur de x, 0).

Propriétés

Ici on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions reconnues.

f \circ g \ne g \circ f
 f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h
f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)
(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'
Voir l'article théorème de dérivation des fonctions composées.
 (g \circ f)ˆ{-1} = fˆ{-1} \circ gˆ{-1}

Puissances fonctionnelles

On conserve les notations ci-dessus. Si Y \subset X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi

fˆ2=f \circ f
 f ˆ3= f \circ f \circ f

Et de manière plus générale :

 \forall n \in \Nˆ*, fˆn=\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n\ \mathrm{fois}}

On pose

fˆ0=\operatorname{Id}_X

\operatorname{Id}_X est l'application identité de la totalité X.

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction f bijective de X dans lui-même. Ainsi, f − 1 sert à désigner l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif, fn, est la composée de f − 1 par elle-même n fois.

Attention à ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin2 est la fonction \sin \times \sin qui vérifie

\forall x \in \R,\ \sinˆ2(x) = \sin(x)\times \sin(x)

Il y a également une confusion envisageable entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

Autre notation

Au milieu du XXe siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation g \circ f portait à confusion et décidèrent d'utiliser xf pour f (x) et xfg pour (g \circ f)(x). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.

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