Coefficient binomial
En mathématiques, les cœfficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de sous-ensembles différents à k éléments qu'on peut former à partir d'un ensemble contenant n éléments.
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- 3.1 Cœfficients binomiaux. Voir la derni`ere section sur la..... que seuls les éléments au-dessus de la diagonale ont besoin d'être calculés.... positif) et un poids (un entier positif). L'objectif est de remplir le sac `a dos de façon ` a..... Le cœfficient binomial est défini comme suit, pour 0 ≤ k ≤ n :... (source : docs.happycoders)
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En mathématiques, (algèbre et dénombrement) les cœfficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de sous-ensembles différents à k éléments qu'on peut former à partir d'un ensemble contenant n éléments. On les note (lu «k parmi n») ou
(lu «combinaison de k parmi n»). Cette quantité s'exprime avec la fonction factorielle :
Les cœfficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série, lois de probabilités.
On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.
Établissement de la formule
L'expression de se détermine en utilisant les arrangements. On calcule le nombre d'arrangements ou de listes ordonnées à k éléments pris dans un ensemble en contenant n de deux façons différentes. La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de
- Une liste ordonnée de k éléments pris parmi n peut être constituée en choisissant le premier élément parmi n, (n choix envisageables), puis le deuxième élément parmi n -1 (n -1 choix envisageables), etc. le dernier élément étant choisi parmi n - k+1 éléments. Il existe par conséquent
listes ordonnées de k éléments pris parmi n.
- Mais on peut aussi choisir en premier lieu le sous-ensemble des k éléments parmi n (
choix envisageables) puis ordonner la totalité pour former une liste (k! ordres envisageables). Il existe par conséquent
listes ordonnées de k éléments pris parmi n.
En confrontant ces deux expressions, on obtient l'expression de :
Définition algébrique des cœfficients binomiaux d'entiers
Le cœfficient binomial des entiers naturels n et k est noté ou
et vaut :
Ici n ! sert à désigner la factorielle de n. On remarque qu'il existe deux notations : le cœfficient binomial de n et k s'écrit
ou
et se lit «combinaison de k parmi n» ou aussi «cnk»,
- ou bien
et se lit «k parmi n».
Une importante relation, la formule de Pascal, lie les cœfficients binomiaux :
Elle donne lieu au triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des cœfficients pour de petites valeurs de n :
ligne 0: 1 ligne 1: 1 1 ligne 2: 1 2 1 ligne 3: 1 3 3 1 ligne 4: 1 4 6 4 1 ligne 5: 1 5 10 10 5 1 ligne 6: 1 6 15 20 15 6 1 ligne 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
Les cœfficients figurent à la ne ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Cette méthode permet le calcul rapide des cœfficients binomiaux sans division ni multiplication.
Note : pour , le cœfficient binomial est un nombre entier.
La preuve de cette propriété se fait par induction :
- Pour
, c'est évident.
- Supposons que c'est vrai pour
.
- Regardons ce qui se passe quand
:
- pour
, la formule de Pascal
donne
on y voit que sont des entiers étant chacun la somme de deux entiers,
tandis que et
.
- La propriété est par conséquent vraie pour
, elle est donc vraie pour tout
.
Utilisation des cœfficients binomiaux
Développement du binôme de Newton
Ces nombres sont les cœfficients qui apparaissent en développant la puissance nieme de x + y :
A titre d'exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :
.
Combinatoire et statistique
Les cœfficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes habituels de dénombrement :
- Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments est égal à
. C'est aussi le nombre de listes de longueur n, constituées de 1 et de 0, et ayant k fois l'élément 1 et n-k l'élément 0. Ces parties ou ces listes sont nommées des k-combinaisons sans répétition.
- Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à
. C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
- En probabilité et statistique, les cœfficients de binôme apparaissent dans la définition de la loi binomiale.
- Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier.
- D'un point de vue plus intuitif, ce nombre sert à savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple : les quatre as d'un jeu de cartes sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si on prend simultanément deux cartes au hasard. Si on suit la formule il y en a six.
-
- Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
- as de cœur et as de carreau
- as de cœur et as de trèfle
- as de cœur et as de pique
- as de carreau et as de trèfle
- as de carreau et as de pique
- as de trèfle et as de pique
- Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas («carreau - pique» est équivalent à «pique - carreau»).
Diviseurs et cœfficients binomiaux
Les diviseurs premiers de possèdent la propriété suivante : Si
est un nombre premier et
est la plus grande puissance de
qui divise
, alors
est égal au nombre d'entiers naturels
tels que la partie fractionnaire de
soit plus grande que la partie fractionnaire de
. C'est le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, quand ces deux nombres sont écrits en base p.
En particulier, est toujours divisible par
(pgcd veut dire plus grand commun diviseur).
La règle sert à déterminer les qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p = 2 et
. La soustraction de n par k nécessite par conséquent au moins une retenue en binaire. Cela veut dire que, dans le développement binaire de n, il se trouve au moins un 0 localisé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de k.
A l'inverse, est impair si, à chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n au même rang. On dit que k implique n. A titre d'exemple, si n est de la forme 2p − 1, tous ses chiffres binaires valent 1, et l'ensemble des
seront impairs. Si n = 2p, alors n possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls
et
sont impairs, l'ensemble des autres sont pairs.
Généralisations
L'écriture de , pour tout entier n et tout entier k compris entre 1 et n, sous la forme
permet d'envisager une extension envisageable aussi pour tout entier n négatif et tout entier k strictement positif en utilisant l'expression suivante :
Si on pose n=-m, on a la relation suivante :
C'est cette forme des cœfficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme négatif mais aussi dans la définition de la loi binomiale négative
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel k, on définit le cœfficient binomial de la manière suivante :
C'est cette forme des cœfficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme généralisée.
Pour tout entier k, l'expression est un polynôme en z de degré k à cœfficients rationnels. Tout polynôme p (z) de degré d peut être écrit sous la forme
Le calcul de peut se généraliser, avec la fonction Gamma. On remarque que, pour tout entier naturel n, n! = Γ (n + 1) , ainsi, on a, pour tout entier n et pour tout entier k inférieur ou égal à n,
Comme la fonctionΓ est définie pour tout complexe de , on peut généraliser le cœfficient binomial à tous complexes s et t différents des entiers négatifs et tels que s - t ne soit pas un entier négatif, par la formule :
On peut tenter d'unifier les définitions avec la fonction Gamma, en résolvant le problème de pôles de cette fonction par un passage à la limite :
Mais il faut prendre garde à l'ordre des limites qui ne peuvent commuter[1] et cette définition conduit à une valeur illimitée du cœfficient binomial dans les cas non étudiés auparavant
Formules faisant intervenir les cœfficients binomiaux
On suppose que k, n sont des entiers ; z, z'des complexes.
Les formules suivantes peuvent être utiles :
-
.
En remplaçant dans (3) x = y = 1, on obtient
En dérivant (3), et en remplaçant x = y = 1, il vient
En développant ( avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :
-
et d'une façon plus générale
À partir du développement (8), en remplaçant m = k = n et en utilisant (4), on obtient
En développant et en observant le cœfficient devant
, on obtient
On a,
Ici, F (n+1) sert à désigner le n+1 ième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).
Et enfin,
Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).
Voir aussi
Notes et références
- ↑ John D. Cook, Binomial cœfficients
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