Carré

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela veut dire que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure.



Catégories :

Quadrilatère - Polygone

Définitions :

  • (ou four-of-a-kind)  : quatre cartes de la même valeur. (source : partie-de-poker)
Un carré.

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela veut dire que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Le carré possède de nombreuses propriétés de symétrie et de régularité. Tout carré a quatre axes de symétrie et est invariant par des rotations d'angle droit. Deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires, de même que ses diagonales. Ces propriétés sont connues depuis la plus haute Antiquité. Les premières représentations du carré datent de la préhistoire. Il est , avec le cercle, l'une des figures géométriques remarquables les plus étudiées depuis l'Antiquité, le problème de la quadrature du cercle ayant tenu en haleine de nombreux mathématiciens pendant deux millénaires.

Le «carré d'un nombre» sert à désigner aussi le produit de ce nombre par lui-même. Il est noté a × a = a2 et se lit «a au carré» ou «a carré». Cette expression s'est vu consacrée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre étant vu comme la surface d'un carré de côté le nombre d'origine.

Propriétés

Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il possède par conséquent les propriétés de ces deux quadrilatères. Il peut aussi être vu comme un polygone régulier, ce qui sert à démontrer ses propriétés par déduction de celles de ces polygones.

Angles et côtés

Un carré possède quatre angles droits (comme tout un rectangle) et tous ses côtés ont la même longueur (il est un losange). Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux, ce qui en fait un cas spécifique de parallélogramme.

Diagonales

Un carré noté ABCD avec ses diagonales.

Comme parallélogramme spécifique, tout carré possède des diagonales qui se coupent en leur milieu. Ce point d'intersection est nommé le centre du carré. Notons-le O. Les diagonales de tout rectangle — et par conséquent de tout carré — ont la même longueur. Par conséquent il existe un cercle de centre O passant par les quatre sommets du carré. Le rayon de ce cercle est égal à la longueur d'une demi-diagonale.

Les diagonales de tout carré sont perpendiculaires, comme celles de tout losange.

Chaque diagonale partage le carré en deux triangles qui sont à la fois rectangles et isocèles. Les deux diagonales ensembles délimitent dans le carré quatre triangles rectangles isocèles.

Mesures

Tous les carrés sont semblables. Cela veut dire que, pour deux carrés donnés, il existe toujours un agrandissement (ou une réduction) servant à transformer l'un en l'autre en conservant les angles géométriques et les proportions. On peut par conséquent définir entièrement un carré par la longueur c de ses côtés.

L'aire d'un carré est c×c = c2. Son périmètre mesure 4c et chaque diagonale mesure c√2.

Le carré est , parmi les quadrilatères de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface. Cette figure est la réponse à la question d'isopérimétrie dans les quadrilatères.

Dimensions d'un carré de côté c et de diagonale d
Diagonale c \sqrt2
Côté \dfrac{d\sqrt2}{2}
Périmètre 4c = 2\sqrt2 d
Aire cˆ2 = \frac{1}{2}dˆ2

Symétries

Les transformations laissant un carré invariant sont de deux types :

En voici la liste, elles sont au nombre de huit et forment un groupe :

Group D8 id.svg
id (identité : chaque point est conservé)
Group D8 90.svg
r1 (rotation de 90° vers la droite)
Group D8 180.svg
r2 (rotation de 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotation de 270° vers la droite)
Group D8 fv.svg
fv (retournement vertical)
Group D8 fh.svg
fh (retournement horizontal)
Group D8 f13.svg
fd (retournement suivant la première diagonale)
Group D8 f24.svg
fc (retournement suivant la seconde diagonale)
Les éléments du groupe de symétrie (D4). Les sommets sont colorés et numérotés seulement pour visualiser les transformations.

Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables.

Construction au compas seul

Dessin au compas

On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant uniquement les points A et B. Posons R la distance entre Aet B ; alors, on procède comme suit :

\Rightarrow on a un troisième point du carré sur cette courbe.

\Rightarrow le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe.

\Rightarrow Le point C est obtenu par intersection entre C7 et C2.

\Rightarrow L'intersection de C8 et C1 est le point D.

Histoire

La tablette d'argile YBC 7289 : une très ancienne (environ 1700 avant J. -C. ) représentation d'un carré avec ses diagonales et une valeur approchée de √2 (crédits : Bill Casselman).

Des poteries décorées de carrés sont attestées dès le VIe millénaire av.  J. -C. en Mésopotamie[1].

Des tablettes démontrent la connaissance des symétries et rotations du carré vers le XVIIIe siècle av. J. -C. . La tablette BM 15285 contient une quarantaine de problèmes mathématiques concernant des aires de figures liées à des carrés[1].

Le Talmud recommande de bâtir des villes de forme carrée, quelle que soit la forme de son enceinte[2].

Annexes

Bibliographie

Voir aussi

Notes

  1. Eleanor Robson 2008
  2. Salomon Munk, Tanchum ben Joseph, Leopold Dukes, Isidore Cahen, La Bible : traduction nouvelle, 1833 

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