Calcul algébrique

C'est vers le XVIe siècle qu'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques «modernes». Jusque là il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l'algèbre chaloupée.



Catégories :

Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Le mot «calcul» qui revient trois fois... le calcul algébrique, est beaucoup.... des priorités d'invention et de ..... eux seuls à faire voir les différences.... (source : farum)
  • ... qu'une certaine sûreté dans le maniement du calcul algébrique est ..... pas de problème de compréhension, pour donner la priorité à la réflexion...... Les différents jurys de l'oral cette année ont constaté des différences de ... (source : concours-ensea)
  • seulement le calcul de la différence entre deux nombres entiers ; le ...... raison d'être ou, du moins, une raison d'être du calcul algébrique est là. Par... (source : yves.chevallard.free)
Icone math élém.jpg
Cet article est membre de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

C'est vers le XVIe siècle qu'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques «modernes». Jusque là il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l'algèbre chaloupée (écrite en langue commune). Le calcul algébrique combine lettres et nombres, et des opérations. La grande différence entre le calcul numérique et le calcul algébrique est que le premier a pour but de ne donner qu'un résultat spécifique tandis que le second — bien qu'incluant le premier — sert à prouver une théorie, de démontrer ou de définir des lois de manière plus générale. Euclide dans les livres arithmétiques des Éléments d'Euclide (livres VII à IX) utilise souvent des valeurs numériques spécifiques qui ont valeur de généralité.

L'algèbre est par conséquent une arithmétique généralisée.

Exemple

On souhaite démontrer (lentement) que le produit de la somme et de la différence de deux nombres est egal à la différence de leurs carrés :

(a - b). (a + b) = a. (a + b) - b. (a + b) = a² + a. b - b. a - b² = a² - b².

Ainsi (a - b). (a + b) = a² - b²

Cqfd.

Règles de priorité

Les règles de priorité qui s'appliquent aux suites de calculs définissent l'ordre dans lequel ces calculs doivent être menés.

  1. Les parenthèses ont toujours priorité sur les autres calculs.
  2. Viennent ensuite les crochets. Lorsque le problème des parenthèses et des crochets est réglé, on s'intéresse aux différentes opérations, à savoir dans l'ordre :
  3. Les puissances
  4. Les produits et les quotients
  5. Les sommes et différences

A titre d'exemple, dans le calcul de l'expression :
A=8 - 3 × 5³ + (7 + 10) ²
D'après les règles de priorité, on débute par faire le calcul entre parenthèse
⇔ A=8 - 3 x 5³ + (7 + 10) ² = 8 - 3 x 5³ + (17) ².
Par la suite, on effectue le calcul des puissances
⇔ A=8 - 3 x 5³ + (17) ² = 8 - 3 x 125 + 289
Maintenant le calcul prioritaire à effectuer est le produit
⇔ A=8 - 3 x 125 + 289 = 8 - 375 + 289
Et désormais, il ne nous reste plus que des sommes :
⇔ A=8 - 375 + 289 = -78
Autre exemple : A = 4 + [5 × (8 - 6) + 8]

  1. A = 4 + [5 × 2 + 8]
  2. A = 4 + [10 + 8]
  3. A = 4 + 18
  4. A = 22

Deuxième exemple

(AB) * (AB) = ABAB, ou A2B2. (Merci de comprendre que a AB * AB n'égale pas A2 + 2AB + B2. )

Si ce n'est pas suffisament clair. Voyons voir ceci :

A = 20, B = 20.

(20 * 20) * (20 * 20) 400 * 400.160 000.

Tandis que A2 + 2AB + B2 = 400 + 800 + 400 = 1600.

Pour obtenir A2 + 2 AB + B2. L'erreur reside en mélangeant les priorités (ex. faire la multiplication avant la parenthèse) C'est à dire, (AB) * (AB) = ABAB

Exercices pour s'entrainer à manipuler les lettres

On a l'équation :

y = 20 x + 2 y = -4 x - 8

Résoudre les inconnus. Par conséquent on a : 20 x + 2 = -4 x - 8 ce qui donne : 20 x + 4 x = -8 - 2 d'où 24 x = -10 Par conséquent x = -10 / 24

Par la suite on remplace le x par cette valeur fractionnée et on trouve le y. Par conséquent y = 20 * (-10/24) + 2 = -6, 33

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_alg%C3%A9brique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu