Biquaternion

En mathématiques, un biquaternion est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au dix-neuvième siècle.

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Nombre hypercomplexe - Algèbre

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Clifford, W. K. "Preliminary Sketch of Biquaternions. " Proc. London Math. Soc. 4, 381-395, 1873. Hamilton, W. R. Lectures on Quaternions : Containing a... (source : mathworld.wolfram)
The roots of -1 in the set of biquaternions (quaternions with complex components, or complex numbers with quaternion real and imaginary parts) are derived.... (source : cat.inist)

En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au dix-neuvième siècle. William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente.

Article détaillé : biquaternion de Clifford.

Définition

Soit ${1, i, j, k}\,$ , la base pour les quaternions (réels), et soient $u, v, w, x\,$ des nombres complexes, alors

$q = u 1 + v i + w j + x k\,$

est un biquaternion. Les scalaires complexes sont supposés commuter avec les vecteurs de la base des quaternions (c. a. d. vj = jv). En opérant judicieusement avec l'addition et la multiplication, en accord avec le groupe des quaternions, cette collection forme une algèbre à 4 dimensions sur les nombres complexes. L'algèbre des biquaternions est associative, mais pas commutative.

L'algèbre des biquaternions peut être reconnue comme un produit tensoriel $\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\,$ où $\mathbb{C}$ est le corps des nombres complexes et $\mathbb{H}\,$ est l'algèbre des quaternions réels.

Place dans la théorie des anneaux

Représentation linéaire

Notez que le produit matriciel

$\begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}$

où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Quand le produit matriciel est interprété comme $i∼j = k\,$ , on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe de quaternions. En conséquence,

$\begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix}$ représente le biquaternion q.

Étant donné une matrice complexe 2x2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans cette forme, c'est-à-dire que l'anneau des matrices est isomorphe à l'anneau des biquaternions.

Plan complexe alternatif

Supposons que nous prenions w purement imaginaire, $w = b∼\iota\,$ , où $\iota∼\iota = - 1\,$ . (Ici, on utilise $\iota\,$ à la place d'i pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i). Maintenant, quand r = w j, alors son carré est

$r∼r = (w j)(w j) = (w w)(j j) = b b (-1)(-1) = bˆ2\,$ .

En particulier, quand b = 1 ou - 1, alors $rˆ2 = + 1\,$ . Ce développement montre que les biquaternions sont une source de "moteurs algébriques" comme r qui élevé au carre donne +1. Alors ${a + b∼\iota∼j : a, b \in \mathbb{R}}\,$ est un sous-anneau des biquaternions isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus.

Application en physique relativiste

L'équation de Dirac permet une modélisation du changement de spin de l'électron et l'introduction du positron par une nouvelle théorie du moment cinétique orbital

Présentation du groupe de Lorentz

Les biquaternions $\iota∼k = \sigma_1\,$ , $\iota∼j = \sigma_2\,$ et $-∼\iota∼i = \sigma_3\,$ ont été utilisés par Alexander MacFarlane et plus tard, sous leur forme matricielle par Wolfgang Pauli. Elles ont été connues sous le nom de matrices de Pauli. Elles ont chacune pour carré la matrice identité et donc le sous-plan ${a + b∼\sigma ; a, b \in \mathbb{R}}$ génèré par l'une d'entre elles dans l'anneau des biquaternions est isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus. Donc, une matrice de Pauli $\sigma\,$ génère un groupe à un paramètre ${u : u = exp(a \sigma), a \in \mathbb{R}}$ dont les actions sur le sous-plan sont des rotations hyperboliques. Le groupe de Lorentz est un groupe de Lie à six paramètres, trois paramètres (c. a. d. les sous-groupes génèrés par les matrices de Pauli) sont associés avec les rotations hyperboliques, parfois nommées "boosts". Les trois autres paramètres correspondent aux rotations ordinaires dans l'espace, une structure des quaternions réels connue sous le nom quaternions et rotations spatiales. La vue habituelle par une forme quadratique de cette présentation est que $uˆ2 + vˆ2 + wˆ2 + xˆ2 = q∼qˆ*\,$ est conservée par le groupe orthogonal sur les biquaternions quand il est vu comme $\mathbb{C}ˆ4\,$ . Quand u est réel et v, w et x sont des imaginaires purs, alors on obtient le sous-espace $M = \mathbb{R}ˆ4\,$ qui convient pour modéliser l'espace-temps.

Voir aussi

Biquaternions de Clifford

Références

Cornelius Lanczos (1949) The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, pp. 304-12.
Silberstein, L. (mai 1912) Quaternionic form of relativity, Philosophy Magazine, series 6, 23 :790-809.
Silberstein, L. (1914) The Theory of Relativity.
Synge, J. L. (1972) Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies, series A, #21, 67 pages.
Kilmister, C. W. (1994) Eddington's search for a fundamental theory, Cambridge University Press [ISBN 0-521-37165-1], pages 121, 122, 179, 180.

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