Bâtons de Napier

Le mathématicien écossais John Napier inventa en 1617 un abaque facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines, qui est connu en français sous le nom de bâtons de Napier, ou réglettes de Neper.



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  • LES BATONS DE NEPER. John Neper (ou Napier), (1550-1617), mathématicien écossais, inventa un procédé de multiplication, connu sous le nom de ... (source : pagesperso-orange)
  • Comme pour les bâtons de Néper, on a une réglette par chiffre, de zéro à neuf, et un.... Avec les bâtons de Néper (dessin de la page suivante à gauche)... (source : dma.ens)
  • La façon d'utiliser ces bâtons a été expliquée par Neper dans son traité Rabdologiæ publié en 1617. Il suffit d'avoir une série de bâtons de section carrée... (source : ame.epfl)
Batons de Napier.png

Le mathématicien écossais John Napier (en français Neper) inventa en 1617 un abaque facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines, qui est connu en français sous le nom de bâtons de Napier, ou réglettes de Neper.

Napier, qui est déjà inventeur des logarithmes qui portent son nom, décrit sa nouvelle invention dans son ouvrage Rhabdologie (du Grec ραβδoς, règle, et λóγoς, étude). Comme pour les logarithmes, son procédé est basé sur la transformation de puissances en produits et de racines en divisions.

L'abaque est constitué d'un plateau à rebord sur lequel peuvent être positionnées des réglettes gravées. Le bord gauche du plateau est gravé lui aussi, divisé en neuf cases numérotées de 1 à 9. Les dix types de réglettes, qui ont donné leur nom à la totalité du système, étaient initialement en os, d'où le nom anglais de Napier's bones. Elles sont divisées en neuf cases. La case supérieure porte un nombre de 0 à 9. Les huit autres cases sont divisées en deux par un trait diagonal.

Sur chaque réglette est portée la table de multiplication du nombre qui apparaît sur la case supérieure. Ainsi sur la réglette qui commence par le 7, les cases suivantes contiendront 14, 21, 28, ... jusqu'à 63. Ce sont des nombres à deux chiffres, on fait figurer le chiffre des dizaines et celui des unités de part et d'autre du trait diagonal (voir illustration ci-contre).

Principe de la multiplication et de la division

Multiplication par un nombre inférieur à 10

À titre d'exemple, on effectue le produit de 46 785 399 par 7. Pour cela, on forme le nombre 46 785 399 sur la partie supérieure du tableau. On lit ensuite sur la septième ligne le résultat de la multiplication de chaque chiffre par 7. La disposition obtenue est telle que le résultat se lit directement en additionnant les chiffres qui apparaissent dans les bandes diagonales, de droite à gauche et avec retenues si indispensable.

Napier-example-1.png

Sur l'exemple on obtient successivement les unités (3), dizaines (6+3=9), centaines (6+1=7), etc.

Multiplication de nombres à plusieurs chiffres

On multiplie cette fois 46 785 399 par 96 431. On trouve aisément par le procédé précédent les produits partiels par 9, 6, 4, 3 et 1. Il reste simplement à les placer de façon correcte ainsi qu'à les sommer.

Napier example 2.png

Application à la division

Le fait de disposer d'un algorithme de calcul des produits favorise aussi la division. On suit la disposition de l'algorithme respectant les traditions de calcul de la division. Parallèlement, on forme sur la première ligne du plateau la suite des chiffres du diviseur, ce qui sert à lire particulièrement rapidement le produit du diviseur par les chiffres de 1 à 9. Il suffit de choisir parmi eux celui qui est immédiatement inférieur au dividende. On calcule alors le reste par soustraction, et on poursuit l'algorithme.

Abaco de Napier (ejemplo3).png

Évidemment, cette technique s'applique autant pour déterminer le résultat d'une division entière avec reste, que d'une division à virgule.

Histoire et évolution

Le dispositif des bâtons de Napier est un progrès de la technique de la multiplication par jalousies (per gelosia).

Napier Modification.png

Au cours du XIXe siècle, l'abaque rencontra un progrès, avec l'introduction de bâtons inclinés de l'ordre de 65º comparé au bord du plateau, et dont les cases sont délimitées de façon différente, par des traits parallèles au bord du plateau (voir la figure). L'avantage est de mieux faire apparaître le résultat du produit puisque les cases triangulaires dont il faut ajouter le contenu apparaissent l'une au-dessus de l'autre.

Pour favoriser toujours la lecture, les gravures délimitant les cases sont rendues bien visibles, plus que les bords des bâtons. Les produits partiels apparaissent alors particulièrement clairement, avec par exemple, sur la figure ci-contre

987654321 x 5 = 4938271605

À la fin du XIXe siècle un nouveau procédé est introduit : les réglettes de Genaille-Lucas rendent les calculs de produits plus automatiques en prenant en compte les additions nécessaires lors des produits partiels. Seule reste à effectuer à la main l'addition finale.

Extraction de racine carrée

En ajoutant une baguette spécifique (en jaune sur les figures ci-dessous), il est envisageable de calculer rapidement des racines carrées. Cette baguette jaune contient les carrés des nombres de 1 à 9.

Soit à calculer la racine carrée de 46 785 399. La méthode utilise fortement les puissances du nombre cent comme il sera expliqué ensuite. Elle s'applique à un nombre ayant un nombre pair de chiffres avant la virgule (au besoin on peut rajouter un zéro avant). Sur l'exemple donné, les étapes sont les suivantes.

  • isoler les deux premiers chiffres du nombre d'origine (46, marqués en rouge)
  • chercher le chiffre dont le carré précède immédiatement 46 : ici le chiffre 6 ; il forme le premier chiffre du résultat
  • soustraire le carré de 6 à 46 : reste 10, et abaisser deux chiffres suivants du nombre d'origine. On obtient 1078 nombre avec lequel l'algorithme se poursuit.
  • doubler le premier chiffre de la racine (6 x 2 donne 12), le former sur la première ligne du plateau, et ajouter la baguette jaune à la suite
  • parmi l'ensemble des nombres qui apparaissent en ligne chercher celui qui précède immédiatement 1078 : ici c'est 1024 dans la ligne 8
  • le deuxième chiffre de la racine carrée est par conséquent 8, on forme 1078 - 1024 = 54 et on abaisse deux nouveaux chiffres, l'algorithme se poursuivra avec 5453.
Abaco de Napier (raiz cuadrada).png
  • doubler le second chiffre de la racine (8 x 2 donne 16), le rajouter au nombre déjà constitué multiplié par 10 (12 x 10 + 16 = 136), et ajouter la baguette jaune à la suite
  • parmi l'ensemble des nombres apparaissant en ligne celui qui précède immédiatement 5453 est 4089, en ligne 3
  • le troisième chiffre de la racine carrée est par conséquent 3, on forme 5453 - 4089 = 1364 et on poursuit en abaissant deux chiffres

Justification

L'idée sous-jacente à l'algorithme est l'utilisation des puissances de 100. Concrètement, cela revient à grouper les chiffres deux par deux, de part et d'autre de la virgule, selon le schéma suivant (en ajoutant, au besoin, un zéro avant le premier chiffre)

... xx xx xx xx , xx xx xx...

Ce qui revient par exemple à écrire

46785399=46\times 100ˆ3+78\times 100ˆ2+53\times 100ˆ1+99\times 100ˆ0

La première étape consiste à casser le premier terme en un carré parfait plus un terme résiduel qui va s'ajouter avec le second terme

46785399=(6\times 10ˆ3)ˆ2+1078\times 100ˆ2+53\times 100ˆ1+99\times 100ˆ0

À l'issue de la seconde étape on désire aboutir à un résultat de la forme

46785399=(6\times 10ˆ3+a\times 10ˆ2)ˆ2+R\times 100ˆ1+99\times 100ˆ0

a est un chiffre de 0 à 9 et R le plus petit envisageable. En développant et en refactorisant, on peut mettre cela sous la forme

46785399=(6\times 10ˆ3)ˆ2+\left(2\times 6\times 10 + a\right)\times a\times (10ˆ2)ˆ2+R\times 100ˆ1+99\times 100ˆ0

Justement, le procédé décrit ci-dessus est celui qui sert à trouver a convenable, le plus grand envisageable, comme le montrent les calculs gravés sur la planche 1. Il n'y a plus qu'à calculer R ainsi qu'à poursuivre.

Voir aussi

Sources

Liens externes

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