Base orthonormale / Repère orthonormé
Une base orthonormale est une structure mathématique.
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- les coordonnées de M ′ dans le repère orthonormé (O, e1, , em) de Z. On a OM ′ = OM − v2. K = ∑ i=1 i=m xi. ′ei. (e1, , em) étant une base orthonormée de ... (source : math.unice)
Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.
Définition
Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.
- Si n = 1, alors
est dite orthonormale si et uniquement si
- Si n > 1, alors
est orthonormale si et uniquement si
- et,
- pour tout
,
(c'est-à-dire
= 0)
Une base orthonormale est par conséquent une base où l'ensemble des vecteurs de la base sont de norme 1 et sont orthogonaux 2 à 2. Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.
Repère orthonormal (ou orthonormé)
Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors le repère
est dit orthonormal si et uniquement si sa base associée est elle-même orthonormale.
En géométrie dans l'espace
En géométrie dans l'espace, la base est généralement notée au lieu de
.
La base est dite «directe» si est le produit vectoriel de
et de
(
).
Le terme «base orthonormale directe» est quelquefois abrégé par le sigle BOD.
Si la base associée à un repère est orthonormale directe, le repère est un repère orthonormal direct, terme quelquefois abrégé par le sigle ROND.
Voir l'article Orientation (mathématiques) .
Orthonormalisation
On peut à partir d'une base qui n'est pas orthonormale construire une base orthonormale. La méthode la plus commune est l'orthogonalisation de Gram-Schmidt. Cette méthode sert à construire une base orthonormale à partir de toute base de l'espace.
Voir aussi
- Système de coordonnées cartésiennes
- Base canonique
Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme symplectique • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz
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