Arithmétique élémentaire

L'arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu'elle est présentée dans l'enseignement des mathématiques.

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récursives) est le plus petit ensemble de fonctions sur les entiers contenant les ... P rime (n) qui est satisfait par les nombres premiers.... contenant au moins les axiomes de l'arithmétique élémentaire est incohérente ou incompl`ete.... (source : lsv.ens-cachan)
... notée RH, elle concerne la répartition des nombres premiers — et ... de nombres dont la taille est intermédiaire entre celle des entiers et ... Si un tel nombre existe, alors ce résultat d'arithmétique élémentaire est ... (source : interstices)
Des premières preuves simples, écrites en quelques lignes, et compréhensibles par un bachelier... nombres entiers qui est vraie mais indémontrable dans l'arithmétique élémentaire.... L'arithmétique élémentaire est de plus indécidable.... (source : institut.math.jussieu)

L'arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu'elle est présentée dans l'enseignement des mathématiques. Elle débute avec la comptine numérique, c'est à dire la suite des premiers entiers à partir de 1, apprise comme une liste ou une récitation et utilisée pour dénombrer de petites quantités. Viennent ensuite les opérations d'addition et de multiplication par le biais des table d'addition et table de multiplication. Ces opérations permettent, dans le cadre de l'algèbre, de définir leurs opérations réciproques : la soustraction et la division. Ce savoir n'est pas couvert par cet article.

L'apprentissage des tables de multiplication conduit ensuite à la reconnaissance des critères de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9 et par 10, puis à la décomposition des entiers en facteurs premiers. L'unicité de cette décomposition permet la définition du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm). La division euclidienne est utilisée dans l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de deux nombres sans connaître leur décomposition en facteurs premiers.

Un premier niveau de savoir se dégage, avec quelques lemmes et théorèmes clés, comme le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème essentiel de l'arithmétique. Il suffit à démontrer quelques résultat comme le petit théorème de Fermat, celui de Wilson et quelques équations peuvent être résolues. Les équations en questions sont dites diophantiennes, c'est-à-dire qu'elles sont à cœfficients entiers et les solutions recherchées sont entières. La méthode chakravala permet^[1] de trouver une solution à l'équation X² - 83Y² = 1 dès le VI^e siècle. Ces méthodes permettent toujours à Euler, un mathématicien suisse du XVIII^e siècle, de résoudre l'équation X² + Y² = p, qui correspond au théorème des deux carrés de Fermat, ici p sert à désigner un nombre premier. Ce sont ces méthodes, fréquemment reconnus comme de l'arithmétique élémentaire^[2], qui sont exposées dans cet article.

Comprendre plus profondément l'arithmétique des nombres entiers impose l'usage de structures abstraites, comme celles des groupes finis, par exemple dans le cadre de l'arithmétique modulaire, ou des anneaux. On quitte alors l'arithmétique élémentaire pour entrer dans la théorie algébrique des nombres.

Division euclidienne

Théorème de la division

Article détaillé : Division euclidienne.

La totalité étudié dans cet article, noté Z, est celui des nombres entiers, qu'ils soient positifs ou négatifs. L'existence de nombres négatifs offre un avantage trop puissant pour qu'on puisse facilement s'en passer. Originellement, il introduit une petite complexité, comment définir la division euclidienne sur Z ? Il est indispensable de modifier légèrement le résultat déjà réputé pour les entiers positifs.

Division euclidienne pour les nombres entiers — Soit a et b deux nombres entiers tel que b soit non nul. Il existe au moins un couple d'entiers (q, r) tel que a soit égal à b. q + r et tel que r soit en valeur absolue strictement plus petit que b.

Comparé à la division euclidienne dans les nombres entiers positifs, une propriété a été perdue, l'unicité de la solution n'est désormais plus toujours vraie. Considérons l'entier 10 qu'on souhaite diviser par 3, il peut s'écrire de deux manières : 3x3 + 1 ou encore 3x4 + (-2). Autoriser les nombres négatifs, surtout pour le reste, impose d'admettre deux solutions au lieu d'une, ce qui s'avère n'être que peu gênant. La démonstration de ce résultat est proposée dans l'article détaillé.

Sous-ensembles stables

L'objectif de ce paragraphe est la recherche des sous-ensembles de Z qui sont à la fois non vides et stables pour l'addition et la soustraction. Cette démarche, consistant à étudier la structure de la totalité Z, est une des idées fondatrices de l'arithmétique au sens moderne du terme. Dans un contexte plus particulièrement élaboré, ces sous-ensembles peuvent être vus comme des sous-groupes ou des idéaux. L'usage de ces concepts s'avère néanmoins inutile pour une étude qui se limite à l'arithmétique élémentaire.

Sous ensembles stables — Soit M un sous-ensemble non vide de Z et stable pour l'addition, il existe un entier m tel que M soit égal à la totalité des multiples de m.

Démonstration

La démonstration comporte trois parties.

Tout ensemble de multiple est non vide et stable au sens de la proposition :

Une première partie de la démonstration est aisée à démontrer. Un ensemble de multiples de m est non vide car il contient m. Il est stable par addition et multiplication car si a. m et b. m sont deux multiples de m (ici a et b désignent des nombres entiers) alors a. m +b. m est égal à (a + b). m et a. m -b. m est égal à (a - b). m, la somme et la différence de deux multiples de m sont toujours des multiples.

La réciproque fait appel à la division euclidienne. On suppose à présent que M est un sous-ensemble non vide et stable. Un premier cas se dessine si M est la totalité {0}, il est bien stable au sens de la proposition ci-dessus et correspond bien à un ensemble de multiples, celui de l'entier 0. Si M n'est pas réduit à la totalité {0}, il contient un élément a mais aussi son inverse -a. C'est à dire il contient un élément strictement positif. Soit m le plus petit élément strictement positif de M. On souhaite montrer que tout élément b de M est un multiple de m et que tout multiple de m est élément de M.

Tout multiple de m est élément de M :

On remarque en premier lieu que 0 = 0. m est élément de M, en effet, m - m est élément de M car M est stable par soustraction. Soit a. m un multiple de m, si a est strictement positif, a. m peut être vu comme la somme de m : m + m +... + m répétée a fois, la stabilité de l'addition montre que a. m est bien élément de m. Si a est strictement négatif, -a. m est élément de M et la stabilité de la soustraction montre que 0 - (-a. m) égal à a. m est toujours élément de M, ce qui termine cette démonstration.

Tout élément de M est un multiple de m :

C'est ici qu'intervient la division euclidienne. Soit b un élément de M, considérons la division euclidienne de b par m :

$b = q\times m + r$

A la fois r et -r sont éléments de M et l'un des deux entiers est positif. Il est non seulement positif mais également strictement plus petit que m, ce qui, par définition de m, montre que r est égal à 0. c'est à dire, b est bien un multiple de m car égal à q. m.

Les deux dernières propositions montrent quoique M est la totalité des multiples de m, ce qui sert à conclure.

Théorème essentiel de l'arithmétique

Théorème de Bachet-Bézout

Article détaillé : Théorème de Bachet-Bézout.

Une identité sert à venir à bout de toute équation diophantienne du premier degré. Une forme faible de l'identité est la suivante :

Identité de Bachet-Bézout — Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et uniquement si, il existe deux entier m et n tel que :

$a\times m + b\times n = 1\;$

Cette forme de l'identité de Bachet-Bézout est plus faible que celle de l'article détaillé et cela à deux titres. Dans un premier temps, elle ne traite que du cas où a et b sont premiers entre eux, ensuite l'article détaillé donne une méthode effective pour trouver les valeurs de m et n, ce qui n'est pas le propos de ce paragraphe.

Pour démontrer cette identité, on peut remarquer que la totalité M des nombres de la forme a. m + b. n, si m et n décrivent l'ensemble des entiers, est non vide et stable pour l'addition et la multiplication. La proposition précédente montre l'existence d'un entier m tel que M soit la totalité des multiples de m. Si a et b sont premiers entre eux, l'entier m, qui divise a et b, car ce sont des éléments de M, est obligatoirement égal à 1 ou -1. Les multiples de m forment la totalité Z tout entier, qui contient 1, ce qui montre l'existence d'une solution à l'identité.

Si a et b comporte un diviseur commun c, différent de 1 et de -1, l'expression a. m + b. n est aussi un multiple de c et ne peut être égale à 1, qui lui ne l'est pas.

Lemme d'Euclide

Article détaillé : Lemme d'Euclide.

Une application importante de l'identité du dernier paragraphe est le lemme d'Euclide :

Lemme d'Euclide — Si un nombre premier p divise un produit a. b de deux nombres entiers, il divise soit a soit b.

Ce lemme fait apparaitre des nombres essentiels en arithmétique, les nombres premiers. Ce sont des nombres strictement positifs qui n'ont comme diviseurs positifs qu'eux-mêmes et un. Le mathématicien Paul Erdös disaient d'eux : «Un nombre premier est un nombre qui ne se casse pas lorsque on le laisse tomber par terre.»^[3]. Ce lemme est une étape pour démontrer le théorème essentiel de l'arithmétique.

Sa démonstration fait appel à l'identité précédente et est démontrée dans l'article détaillé.

Théorème essentiel de l'arithmétique

Article détaillé : théorème essentiel de l'arithmétique.

Si on considère un entier quelconque, on peut l'écrire sous la forme ε. a, où ε sert à désigner soit 1 où -1 et a un nombre entier positif. Si a n'est pas premier, il se décompose en un produit c. b de nombres entiers positifs, opération qu'on peut recommencer. On finit par trouver une décomposition en facteurs premiers :

Théorème essentiel de l'arithmétique — Un nombre entier se décompose de manière unique en un produit comportant un terme ε égal à 1 ou -1 et les autres facteurs sont des nombres premiers.

Ce théorème est le résultat clé de l'arithmétique élémentaire, démontré dans l'article détaillé. Sous une forme plus ou moins générale, il est à la base de nombreux résultats qui se démontrent avec l'arithmétique élémentaire. En conséquence, la connaissance des nombres premiers s'avère principale. Cette connaissance est quelquefois complexe, leur répartition, par exemple, est en 2008, toujours l'objet d'une des plus célèbres conjecture des mathématiques (voir l'article hypothèse de Riemann qui dépasse de loin le cadre de l'arithmétique élémentaire) . On dispose néanmoins facilement d'un premier résultat :

Nombre de nombres premiers — Il existe un nombre illimité de nombres premiers.

Pour s'en rendre compte, il suffit de considérer un ensemble fini F de nombres premiers et de montrer que cet ensemble ne les contient pas tous. Soit m la somme de 1 et du produit de l'ensemble des nombres de F. L'entier m n'est divisible par aucun élément de F, soit il est premier, soit il est divisible par un nombre premier qui n'est pas dans la liste. En conséquence F ne contient pas l'ensemble des nombres premiers. Dire qu'aucun ensemble fini contient l'ensemble des nombres premiers, c'est dire que le nombre de nombres premiers est illimité (cf Théorème d'Euclide sur les nombres premiers) .

Conséquences directes

Théorème de Wilson

Article détaillé : Théorème de Wilson.

Un exemple de résultat d'arithmétique qui peut se démontrer avec théorèmes énoncés dans cet article est désormais nommé théorème de Wilson. Il a été démontré par le mathématicien arabe du X^e siècle Alhazen^[4]. Il s'énonce ainsi :

Théorème de Wilson — Un entier strictement positif p est un nombre premier si et uniquement s'il divise (p - 1) ! + 1, c'est-à-dire si, et uniquement si :

$(p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p \;$

Une démonstration élémentaire est présentée dans l'article détaillé.

Petit théorème de Fermat

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.

Pierre de Fermat est un mathématicien français du XVII^e siècle que s'est passionné pour l'arithmétique^[5]. Le bagage mathématique disponible à son époque était, en arithmétique, plutôt plus faible que celui présenté ici, car l'usage des nombres négatifs était toujours problématique. Il a établi le résultat suivant :

Petit théorème de Fermat — Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors a ^p-1 - 1 est un multiple de p.

L'article détaillé présente une démonstration seulement avec outils étudiés dans le cadre de cet article. Par delà l'élégance du résultat, il sert aussi de théorème pour démontrer d'autres résultats d'arithmétiques. Il est utilisé, par exemple pour une démonstration élémentaire du théorème des deux carrés de Fermat. Ce résultat stipule que si p est un nombre premier ayant pour reste 1 s'il est divisé par 4, alors l'équation X² + Y² = p admet toujours une solution.

Test de Primalité

Article détaillé : Test de primalité de Fermat.

Le petit théorème de Fermat est à la base de nombreux tests de primalité^[6]. Pour en comprendre le principe appliquons sa forme naïve au cinquième nombre de Fermat, noté F₅ et égal à 2³² + 1, ou encore à 4 294 967 297. Fermat a toujours cru que ce nombre était premier, il rédige «... je n'ai pu toujours démontrer obligatoirement la vérité de cette proposition»^[7]. C'est l'unique conjecture fausse que Fermat a émise.

La méthode simple et brutale, consiste à calculer le reste de la division de a^(F₅ - 1) - 1 par F₅. Si le reste n'est nul, le nombre n'est pas premier. Avec deux astuces, les calculs sont bien plus simples qu'il n'y paraît, choisissons a égal à 3. Son carré donne a², égal à 9. le carré de ce nombre donne 3^2², égal à 81, son carré est égal à 3^2³ 6 561. Comme F₅ - 1 est égal à 2³², il suffit de 32 étapes pour conclure, ce qui est désormais rapide avec les méthodes de calculs modernes.

La seconde difficulté à résoudre est le caractère élevé des puissances successives, on finirait par devoir utiliser des particulièrement grands nombres qui imposent une écriture lourde des valeurs intermédiaires, ainsi 3^2⁵ est égal à 1 853 020 188 851 841, tandis que ce n'est que la cinquième valeur intermédiaire et qu'il faut en calculer 32. Il est néanmoins envisageable d'écrire ce nombre habilement, avec une division euclidienne :

$3ˆ{32} = 1\;853\;020\;188\;851\;841 = 43\;1439\times F_5 + 3\;793\;201\;458 = Q_5\times F_5 + R_5$

Ce qui importe, c'est le reste de la division euclidienne de 3^(F₅ - 1) - 1 et non pas la valeur de Q₅. Ainsi, à l'étape selon :

$3ˆ{64} = (Q_5\times F_5 + R_5)ˆ2 = F_5\times (Q_5ˆ2\times F_5 + 2\times Q_5\times R_5) + R_5ˆ2$

Il suffit que calculer le carré de R₅ et d'opérer une division euclidienne de ce carré par F₅ et on obtient :

$3ˆ{64} =Q_6\times F_5 + R_6\quad\text{avec}\quad R_6 = 1\;461\;798\;105$

Le calcul de Q₆, et en règle générale de Q_n où n est un entier qui va jusqu'à 32, est inutile. Et la suite des R_n ne dépasse jamais F₅, ce qui empêche une explosion de chiffres significatifs à calculer. En 32 étapes, on trouve que le reste de la division euclidienne de 3^(F₅ - 1) - 1 par F₅ est égal à 3 029 026 159 et non pas 0, le nombre F₅ n'est pas premier. Euler utilise une méthode plus habile, elle exhibe effectivement les diviseurs^[8], sa méthode est exposée dans l'article Nombre de Fermat.

Généralisations

Anneau euclidien

Articles détaillés : Entier de Gauss et Entier de Dirichlet.

Les questions d'arithmétiques sur les entiers s'avèrent rapidement complexes, Gauss, un mathématicien du XIX^e siècle, indiquait : «Leurs charmes spécifiques vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves.»^[9]. D'autres idées sont nécessaires pour aller plus loin. Une méthode consiste à construire de nouveaux ensembles. Cette méthode est illustrée dans l'article Théorème des deux carrés de Fermat. Pour résoudre l'équation X² + Y² dans Z, on ne cherche cette fois plus les solutions dans Z, mais dans la totalité des nombres de la forme a + i. b, où a et b sont des entiers et i l'unité imaginaire. Un élément de cet ensemble porte le nom d'entier de Gauss.

Un des charmes de cet ensemble est qu'il existe toujours une division euclidienne. Les démonstrations des résultats énoncés dans cet article s'appliquent presque sans modification au nouvel ensemble. Les nombres premiers, cette fois sont légèrement différents, 2 n'est pas premier car (1 + i) (1 - i) est égal à 2, par contre, 1 + i l'est . La résolution de l'équation y est bien plus facile. Cette démarche permet, par exemple, de construire une arithmétique du nombre d'or, et de démontrer la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci.

Cette logique permet aussi de construire une arithmétique des polynômes, à l'origine de résolutions d'équations algébriques complexes, comme l'équation cyclotomique.

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Une autre idée principale consiste toujours à créer de nouveaux ensembles de nombres, mais cette fois en s'y prenant différemment. Les nombres sont les restes d'une division euclidienne par un entier, fréquemment choisi premier. Les éléments de ce nouvel ensemble portent le nom de congruence sur les entiers. L'usage de cet ensemble est en filigrane dans le test de primalité recherché. Il sert à démontrer simplement la généralisation d'Euler du petit théorème de Fermat, et par la même occasion introduit la fonction indicatrice d'Euler, qui joue un rôle important en arithmétique.

Un exemple de résultat arithmétique obtenu avec ce type de méthode est la loi de réciprocité quadratique qui sert à résoudre des équations diophantiennes comme X² + p. Y + n = 0, où p est un nombre premier et n un entier.

Voir aussi

Notes

↑ Cet exemple est tiré de son ouvrage Brahmasphuta siddhanta selon le site de l'Université de St Andrew Pell's equation
↑ M. Gouy, G. Huvent, A. Ladureau indiquent : «Le théorème de Bézout est un des premiers résultats qu'on établit dans un cours d'arithmétique élémentaire» Bézout par l'approximation diophantienne par L'IREM de Lille
↑ Le dernier des premiers a déjà deux ans Maths en trans
↑ V. Beck Variations autour du théorème de Wilson ENS Cachan
↑ C. Goldstein Un théorème de Fermat et ses lecteurs Presses universitaires de Vincennes 1995 (ISBN 2910381102)
↑ On peut voir à ce sujet l'article non élémentaire en anglais : D. J. Bernstein distinguishing prime numbers form composite numbers Department of Mathematics, Statistics, and Computer Science
↑ Pierre de Fermat Lettre de Fermat à Frénicle du 18 octobre 1640 lire
↑ Leonhard Euler Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ (6) 1738 p 102-103 1732
↑ C. Goldstein Fermat et son Théorème Orsay Info 57 1999 Lire

Liens externes

Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3e édition IREM de Marseille
G. Villemin Initiation à la théorie des nombres Nombres : curiosités - théorie - usage

Références

I. R. E. M. Lille Les nombres - Problèmes anciens et actuels Ellispe 2000 (ISBN 2729801227)
M. Guinot Arithmétique pour amateurs. Vol. 1. Pythagore, Euclide et toute la clique Aléas Lyon, 1992 (ISBN 2908016214)
Cette série de cinq volumes s'adresse aux amateurs éclairés (c'est-à-dire ayant fait une ou deux années d'études mathématiques après le baccalauréat) . On y trouve les bases de l'arithmétique mais aussi l'étude des triplets pythagoricien.
M. Guinot Arithmétique pour amateurs. Vol. 2. Les resveries de Fermat Aléas Lyon, 1993 (ISBN 2908016273)
La troisième partie concerne les sommes de deux carrés.
M. Guinot Arithmétique pour amateurs. Vol. 3. Ce diable d'homme d'Euler Aléas Lyon, 1994 (ISBN 2908016397)
Ce livre traite du théorème des deux carrés avec les outils de Lagrange et de Jacobi mais aussi de l'équation diophantienne généralement.
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]

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