Arithmétique des polynômes

En Algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de l'arithmétique et qui sont légèrement analogues à celles des nombres entiers.



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Polynôme

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En Algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de l'arithmétique et qui sont légèrement analogues à celles des nombres entiers. A titre d'exemple, l'anneau des polynômes K[X] à une indéterminée X ainsi qu'à cœfficients dans un corps commutatif K dispose d'une division euclidienne. Si le lecteur n'est pas familier avec les structures de corps et d'anneau, il peut considérer K comme une lettre symbolisant la totalité des nombres réels ou complexes. La division euclidienne est à l'origine des théorèmes clés de l'arithmétique élémentaire. Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes. On démontre de la même manière l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique, les polynômes irréductibles et unitaires prenant alors la place des nombres premiers.

Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les cœfficients sont choisis dans un ensemble A comme celui des nombres entiers, où les éléments ne sont pas forcément inversibles pour la multiplication. L'étude de cette configuration demande l'usage d'un attirail d'outils mathématiques plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identité de Bézout n'est plus vérifiée, un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique reste toujours valable. Cette propriété reste vraie si l'anneau comporte plusieurs indéterminées. C'est à dire, si A est un anneau factoriel, l'anneau des polynômes à cœfficients dans A est aussi factoriel, quel que soit le nombre d'indéterminées. Occasionnellemen, l'anneau A n'est pas factoriel mais juste nœthérien. À condition que l'anneau des polynômes ne contienne qu'un nombre fini d'indéterminées, il est aussi nœthérien.

Ces différents résultats sont à l'origine de théorèmes fondateurs de diverses branches de l'algèbre. La théorie de Galois s'appuie sur la structure euclidienne de K[X], la théorie algébrique des nombres fait usage du caractère factoriel et nœthérien d'un anneau de polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur un anneau factoriel. Enfin, des théorèmes comme celui de la base de Hilbert ou le Nullstellensatz, essentiels en géométrie algébrique, sont des conséquences directes de l'arithmétique des polynômes.

Corps commutatif

Dans le reste de l'article K sert à désigner un corps commutatif. Ce corps peut être égal à Q celui des nombres rationnels, R celui des réels ou C pour les complexes, ou encore un corps fini. Dans ce paragraphe l'ensemble des polynômes sont en une indéterminée ainsi qu'à cœfficients dans K, l'anneau de ces polynômes est noté K[X]. L'anneau K[X] possède une division euclidienne (cf l'article Division d'un polynôme) et comme pour tout anneau euclidien, les conséquences sont multiples. Elles sont précisément identiques à celle traitées dans l'article arithmétique élémentaire, qui traite de l'arithmétique des nombres entiers.

Il est envisageable d'exprimer ces résultats sous deux formes, la première et la plus simple est celle utilisé dans l'article arithmétique élémentaire. La seconde, emploie le vocabulaire de la théorie des anneaux, c'est-à-dire des termes comme idéal, idéal principal, premier ou encore maximal. L'article explicite les résultats dans les deux langages.

Identité de Bézout

Suivre le plan de l'article Arithmétique élémentaire, suppose dans une premier temps de s'intéresser aux sous-ensembles de K[X] non vide et stable pour l'addition et la soustraction. Pour que les conséquences soient aussi riche que dans l'article sur les entiers, il est indispensable d'ajouter la stabilité de la totalité par multiplication par un polynôme quelconque. On obtient le résultat suivant :

Sous-ensemble stable — Un sous-ensemble M non vide de K[X] est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si, et uniquement si, il existe un polynôme m tel que M soit la totalité des multiples de m.

En termes de théorie des anneaux, ce résultat indique que K[X] est un anneau principal, ce qui est le cas de tout anneau euclidien. La démonstration se trouve dans l'article Anneau euclidien.

La conséquence directe est :

Identité de Bézout — Soit P et Q deux polynômes, P et Q sont premiers entre eux si, et uniquement si, il existe deux polynômes M et N tel que :

P\cdot M + Q\cdot N = 1

Il devient indispensable de définir l'expression polynômes premiers entre eux. Deux polynômes sont premiers entre eux quand les seuls polynômes qui les divisent l'ensemble des deux sont les polynômes constants non nul. Cette définition est particulièrement proche de celle des entiers qui sont premiers entre eux quand les seuls diviseurs communs sont 1 et -1, c'est-à-dire les éléments inversibles de l'anneau.

Dans le vocabulaire des anneaux, l'identité se traduit légèrement différemment. Soit A et B deux idéaux de K[X], si l'intersection de A et de B est égal au produit des idéaux A. B (ce qui est l'équivalent de l'expression premiers entre eux), alors l'idéal A + B est égal à K[X].

Polynôme irréductible

Continuer l'ressemblance avec l'arithmétique élémentaire demande à ce niveau de disposer d'un équivalent des nombres premiers. Dans Z, un nombre premier n'est divisible que par 1, -1 ou le produit d'un de ces deux éléments et de lui-même. Cependant ces nombres ne sont que qualifiés d'irréductibles. Pour qu'ils soient déclarés premiers il faut en plus qu'ils soient positifs. Ce qui caractérise un nombre premier, ce sont ces multiples, or 2 et -2 ont le même ensemble de multiples, ce qui forme une classe d'équivalence dont la relation R est définie par : a et équivalent à b quand a et b possèdent le même ensemble de multiples. Dans le cas général, deux éléments d'un anneau a et b sont équivalents, ou encore ont le même ensemble de multiples, s'il existe un élément c inversible pour la multiplication, tel que a. c = b. Dans Z, les deux seuls éléments inversibles sont 1 et -1. On dit qu'ils sont éléments du groupe des unités et les éléments inversibles sont dits des unités. La relation d'équivalence est étudiée dans l'article Groupe des unités. Dans le cas des polynômes :

Groupe des unités de K[X] — Le groupe des unités de K[X] est constitué par les polynômes constants non nuls.

On en déduit une définition pour les polynômes, presque équivalente à celle des nombres premiers :

Polynôme irréductible — Un polynôme est dit irréductible quand qu'il n'est pas inversible et que ses diviseurs sont , soit des polynômes constants inversibles, soit le produit de lui-même par un polynôme constant.

On dispose, par exemple de la proposition :

Polynôme du premier degré — Un polynôme du premier degré est toujours irréductible.

Pour exprimer l'équivalent théorème essentiel de l'arithmétique, il est important de choisir un unique nombre premier dans chaque classe d'équivalence, pour la relation R, de nombres irréductibles. Dans Z, il suffit d'indiquer qu'un nombre irréductible est dit premier s'il est positif, car chaque classe d'équivalence contient deux éléments : a et son opposé -a. La même relation d'équivalence dans K[X] existe et la classe d'équivalence d'un polynôme P est la totalité des polynômes k. P si k décrit l'ensemble des éléments de K non nuls. Pour exprimer l'équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique, on choisit le plus souvent l'élément de la classe qui est unitaire, c'est-à-dire celui dont le cœfficient du monôme dominant (celui du plus haut degré) est égal à 1. Dans chaque classe d'équivalence de polynôme irréductible, il n'existe en effet qu'un unique polynôme unitaire.

Théorème essentiel de l'arithmétique

Avant d'énoncer le théorème essentiel, un premier lemme est utile :

Lemme d'Euclide — Soit P un polynôme irréductible et A, B deux polynômes. Si le produit des deux polynômes A. B est un multiple de P, alors soit A soit B est un multiple de P.

En termes d'anneau, ce résultat s'exprime comme par : Si un parfait premier I contient le produit de deux idéaux A et B il est contient soit A soit B, proposition toujours vraie dans un anneau principal (cf l'article Idéal premier) .

On obtient finalement le théorème suivant :

Décomposition en facteurs irréductibles — Un polynôme non nul se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit comportant un polynôme constant et des polynômes unitaires irréductibles.

C'est à dire, en termes d'anneau, K[X] est factoriel, car tout anneau principal est factoriel (cf l'article Anneau factoriel) .

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Une structure digne d'intérêt sur les entiers est celle du quotient Z/nZ. Un élément de ce quotient est représenté par un reste de division euclidienne d'un entier quelconque par n, on trouve toujours un représentant unique d'une congruence modulo n dans les entiers positifs strictement plus petit que n. Si p est un entier irréductible (c'est-à-dire un nombre premier ou son opposé), la structure Z/pZ est un corps, c'est à dire, tout élément non nul de Z/pZ est inversible.

Soit P un polynôme irréductible, il est tentant de considérer les polynômes de K[X] modulo P. On obtient une structure avec une addition et une multiplication, qui vérifie l'ensemble des propriétés d'un anneau commutatif unitaire, précisément comme celle décrite dans l'article Congruence sur les entiers. On dispose toujours de la propriété :

Congruence sur K[X] modulo un polynôme irréductible —  Si P est un polynôme irréductible de K[X], toute congruence modulo P non nul possède un inverse pour la multiplication.

Notons L la structure des congruences sur les polynômes de K[X] modulo P. Comme tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, on dit que c'est un corps. Il est nommé le corps de rupture de K. Ce corps dispose d'une propriété remarquable :

Corps de congruence, vu comme un espace vectoriel — Le corps L dispose d'une structure de K espace vectoriel de dimension le degré de P.

Usages de l'arithmétique de K[X]

Extension finie de R

Article détaillé : Théorème essentiel de l'algèbre.

Le corps des complexes C peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 2, sur R. On peut se demander s'il existe d'autres corps commutatifs contenant R. Il existe par exemple le corps des fractions rationnelles à cœfficients dans R. Mais, à la différence de C, vu comme un espace vectoriel sur R, le corps des fractions n'est pas de dimension finie. Un corps commutatif contenant R et espace vectoriel de dimension finie est dit une extension finie de R. L'arithmétique des polynômes à cœfficients dans R permet d'établir le résultat suivant :

Extension finie de R — Il n'existe que deux extensions finies de R : R et C, à un isomorphisme près.

L'expression un isomorphisme près veut dire que si L est une extension finie de R, alors soit L est égal à R soit L est une copie de C et il existe une bijection φ de C dans L tel que l'image de R soit R et que l'addition et la multiplication soit respectées par φ, c'est à dire :

\forall a,b \in \mathbb C \quad \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \quad\text{et}\quad \varphi(a\cdot b) = \varphi(a)\cdot \varphi(b)

Ce qui veut dire que φ (a) est une autre manière de noter a, mais que les opérations restent strictement les mêmes.

Équation algébrique

Article détaillé : Corps de décomposition.

L'arithmétique modulaire sur les polynômes apporte la structure de base d'une des branches de la théorie des équations, dont l'unique objet est la résolution des équations polynômiale. Soit P un polynôme à cœfficients dans un corps K de degré supérieur ou égal à 1, on recherche un corps L contenant les racines de P.

Corps de décomposition — Il existe un corps L, contenant K dimension finie et contenant l'ensemble des racines de P.

La plus petite extension vérifiant cette propriété est nommé corps de décomposition du polynôme P. Ce corps est un des ingrédients utilisé dans le cadre de la théorie de Galois pour déterminer précisément quelle équation polynômiale est résoluble par radicaux (cf l'article Théorème d'Abel (algèbre) ) .

Corps fini

Article détaillé : corps fini.

Les congruences sur les anneaux sont la méthode principale d'étude des corps finis. Pour l'illustrer, considérons un nombre premier p strictement supérieur à 2 et recherchons un corps fini à p2 éléments. On considère tout d'abord le corps Fp à p éléments, isomorphe à Z/pZ. Dans ce corps, la fonction polynôme, qui à x associe x2, n'est pas injective car x et -x ont la même image. Une application d'un ensemble fini dans lui-même qui n'est pas injective n'est pas surjective, et il existe une valeur a de Fp tel que le polynôme Pa égal à X2 - a soit irréductible.

Les congruences des polynômes de Fp modulo Pa forment un corps car Pa est irréductible. Si χ représente la classe de X modulo Pa, comme toute congruence possède comme représentant un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, tout élément du corps des congruences est de la forme a + b. χ, avec a et b élément de Fp. On obtient bien un corps à p2 éléments.

L'article détaillé montre qu'il n'existe pas d'autres corps à p2 éléments à un isomorphisme près. Cette méthode se généralise et sert à construire l'ensemble des corps finis.

Anneau factoriel

Dans ce paragraphe A sert à désigner un anneau factoriel, c'est-à-dire aussi non nul, commutatif unitaire et intègre. L'article Construction de l'anneau des polynômes montre que A[X] est toujours commutatif unitaire et intègre, cependant il n'est euclidien que si A est un corps (cf l'article Division d'un polynôme) .

Lemme de Gauss

Article détaillé : Lemme de Gauss (polynômes) .

Cette fois ci, le groupe des unités de A[X] est plus restreint, il ne contient que les polynômes constants dont la constante est inversible dans A. Ainsi dans Z[X], l'anneau des polynômes à cœfficients entiers les deux seuls polynômes inversibles sont 1 et -1. Dans ce cas, un polynôme constant non nul n'est pas obligatoirement irréductible et le polynôme 6 n'est plus irréductible car il est égal à 2x3. Pour cette raison, on dit qu'un polynôme est primitif quand ses cœfficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Comme A est un anneau commutatif unitaire et intègre, il est envisageable de construire son corps des fractions K, de la même manière qu'on construit Q le corps des fractions des entiers naturels. Un polynôme P de A[X] peut aussi être reconnu comme un polynôme à cœfficients dans K.

On dispose d'une première propriété, nommée lemme de Gauss seulement dans le cas où l'anneau est égal à Z, mais vraie dans l'ensemble des anneaux factoriels :

Lemme de Gauss — Un polynôme de A[X] est irréductible si, et uniquement si, il est primitif et irréductible dans K[X].

Pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans Z[X], il suffit de vérifier que ses différents cœfficients ne comportent aucun facteur commun et qu'il est irréductible dans Q[X].

Les démonstrations sont proposées dans l'article Anneau factoriel.

Théorème

Article détaillé : Anneau factoriel.

Une conséquence de ce lemme est le théorème :

Anneau factoriel — L'anneau A[X] est factoriel.

L'équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique est toujours valable, tout comme le lemme d'Euclide, mais l'identité de Bézout n'est plus vraie et l'anneau des polynômes n'est pas principal. Pour s'en rendre compte, on peut, par exemple considérer l'idéal génèré par l'indéterminée X et a, un élément non inversible de l'anneau A, il n'est pas principal. En conséquence, il n'existe pas de polynômes N et M de A[X] tel que N. X + a. M soit égal au polynôme constant 1, même si a et X sont deux polynômes premiers entre eux. Comme l'anneau n'est pas principal, il ne peut exister de division euclidienne.

Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.

Usages de l'arithmétique de A[X]

Ces propriétés permettent quelquefois d'étudier la décomposition en facteurs premiers dans Q[X]. C'est le cas pour l'étude du polynôme cyclotomique, le lemme de Gauss sert à montrer que les facteurs irréductibles sont à cœfficients dans Z, il devient envisageable de quotienter Z, l'anneau des cœfficients, par p. Zp est un nombre premier, et de conclure sur l'expression exacte des facteurs irréductibles des polynômes de la forme Xn - 1. Le lemme de Gauss peut être aussi utilisé pour démontrer le critère d'Eisenstein sur les polynômes à cœfficients dans Z.

Une autre conséquence influe sur l'étude de la géométrie algébrique. Cette branche des mathématiques porte sur l'étude des variétés définies comme intersections des racines d'une famille (Pk) de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps K. L'anneau K[X1, X2] est isomorphe à l'anneau de polynômes en une indéterminée à cœfficients dans K[X1], qui est factoriel. Il est par conséquent factoriel et une récurrence montre que K[X1, ..., Xn] l'est aussi.

Une variété algébrique peut toujours être vue comme la totalité des points qui s'annulent sur l'idéal génèré la famille (Pk). Le caractère factoriel de l'anneau offre immédiatement des théorèmes sur les idéaux de l'anneau, offrant ainsi deux axes d'analyse, géométrique en étudiant la variété et algébrique en étudiant l'idéal. Le théorème de la base de Hilbert et le Nullstellensatz sont deux résultats géométriques sur les variétés qui découlent de l'étude de la structure des idéaux.

Voir aussi

Liens externes

Références

Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808)  [détail des éditions]
P. Tauvel Algèbre Agrégation, Licence 3e année Dunod (2005) (ISBN 2100494120)
D. Perrin Cours d'algèbre Ellipses Marketing (1998) (ISBN 2729855521)

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