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En mathématiques, une application f est la donnée de deux ensembles, la totalité de départ E et la totalité d'arrivée F,...



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Analyse - Théorie des ensembles

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Graphique d'une fonction

En mathématiques, une application (ou fonction) f est la donnée de deux ensembles, la totalité de départ E et la totalité d'arrivée F, et d'une relation associant à chaque élément x de la totalité de départ un et un seul élément de la totalité d'arrivée, qu'on nomme image de x par f et qu'on note f (x). On dit tandis que f est une application de E dans F (noté f : E\to\,F), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Le terme fonction est fréquemment utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire quand la totalité d'arrivée est \mathbb R ou \mathbb C. On parle alors de fonction réelle, ou de fonction complexe.

L'image d'une application f : E\to\,F est la collection des f (x) pour x parcourant E ; c'est un sous-ensemble de F.

Le graphe d'une application f : E\to\,F est le sous-ensemble du produit cartésien E × F constitué des couples (x, f (x) ) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante) et son image (par projection sur la seconde composante).

Fonction et application

La notion de fonction comme correspondance entre deux types d'objet est assez ancienne. Mais le terme n'apparait qu'à la fin du XVIIe siècle sous la plume de Leibniz en 1694[1], il s'agit alors de fonction associée à une courbe géométrique : Leibniz dit mais aussi l'abscisse, l'ordonnée ou le rayon de courbure d'une courbe en un point M est une fonction du point M. Dans la même époque, Newton parle de fluente pour des quantités dépendant d'une variable qu'il nomme le temps (tout en précisant que le rôle joué par le temps, peut l'être par une autre quantité). La notation sous la forme f ne s'est pas mise en place tout de suite. Jean Bernoulli propose d'appeler X la fonction de x, Leibniz invente une notation servant à travailler sur plusieurs fonctions différentes : \overline x | \underline1 et \overline x | \underline 2 sont ainsi deux fonctions dépendant de x. La notation fx apparait chez Euler en 1734. Les fonctions sont alors toujours à valeurs numériques (réelles ou complexes) et possèdent en outre des propriétés restrictives (liées à une équation algébrique, continuité eulérienne, développable en série entière... ).

Parallèlement se développe, en géométrie, la notion d'application pour des correspondances ponctuelles.

Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de faire correspondre les deux notions en parlant de

S'appuyant sur cet avis, les mathématiques modernes des années 1970 distinguent alors deux objets différents

En pratique, le fait qu'il suffise de diminuer la totalité de départ d'une fonction à son ensemble de définition pour la transformer en application rend peu utile ce distinguo. Ce dernier n'a d'ailleurs jamais été adopté par la communauté mathématique dans son ensemble, qui continue à utiliser ces deux termes dans leur sens historique, le terme fonction étant utilisé comme synonyme du terme application dans le cas spécifique où la totalité d'arrivée est \R ou \mathbb C (la totalité de départ étant toujours pris égal au domaine de définition).

Définition

La définition usuelle en mathématiques d'une fonction est par conséquent ensembliste et présuppose principalement celle de couple et de produit cartésien. Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec GE × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartienne à G. L'ordre des ensembles du triplet est arbitraire et on trouve d'ailleurs des variations suivant les ouvrages. On décompose fréquemment la propriété caractéristique en deux clauses :

Existence. ∀ xEyF  (x, y) ∈ G ;
Unicité. ∀ xEyFy'FG et (x, y') ∈ G] ⇒ y = y').

En d'autres termes ceci veut dire que G intersecte chaque sous-ensemble {x} × F, en un unique point, dont l'existence est donnée par la première clause, et l'unicité par la seconde. Ce point, élément de F, est nommé image de x par l'application f et noté f (x). Pour bien distinguer l'image d'un élément de E, qui est un élément de F, de l'image de f, qui est un sous-ensemble de F, on parle quelquefois dans ce dernier cas d'ensemble image de f.

On dit aussi que f associe à x l'élément f (x), ou encore que f envoie x sur f (x). Les formes passives «x est envoyé par f sur f (x)», «f (x) est associé à x par f» sont aussi utilisées.

Si x, élément de E, vérifie f (x) =y, on dit que x est un antécédent de y. Un élément y de F peut particulièrement bien avoir plusieurs antécédents ou n'en avoir aucun.

Pour une fonction de E dans F qui à x associe f (x) on note :

f : \begin{array}[t]{lcl}E &\rightarrow &   F  \\
                               x & \mapsto    & f(x)
           \end{array}

par exemple pour la fonction de la variable réelle qui à un nombre associe son carré :

f : \begin{array}[t]{lcl}\Bbb R &\rightarrow &   \Bbb R \\
                               x & \mapsto    & xˆ2
           \end{array}

Dans l'exemple précédent on a utilisé la structure des réels pour définir la fonction. Pour un ensemble E quelconque on peut toujours définir l'identité ou application semblable, qui associe à tout élément x de E l'élément x lui-même. Son graphe est la diagonale du produit cartésien E\times E, le sous-ensemble défini par la relation x=y.

Si F est non vide, alors on peut associer à tout élément b de F, une application dite application constante de E dans F, qui associe à tout élément de E l'élément b. Son graphe est par conséquent E × {b}.

On utilise quelquefois d'autres terminologies et d'autres notations. Les fonctions définies sur la totalité N des entiers naturels (ou une partie de ce dernier) sont fréquemment nommées suites, par exemple les suites réelles sont les fonctions de N dans la totalité R des réels. On utilise alors la notation indicielle : (un) nN sert à désigner la suite, écriture qui peut être abrégée en (un), et un sert à désigner l'image par cette suite de l'entier n.

Cette notation couvre aux familles, indexées par I d'éléments d'un ensemble F donné, qui sont , avec une autre notation et une autre terminologie, des fonctions de I dans F.

Ensemble des applications entre deux ensembles

La totalité des applications de E dans F est fréquemment noté FE. Lorsque E et F sont des ensembles finis, si on note |E| le cardinal d'un ensemble E, on a :

|FE| = |F||E|.

Il s'agit aussi de la totalité des familles indexées par E d'éléments de F, et on peut utiliser aussi cette notation :

\prod_{i\in I} F.

Dans le cas dégénéré, où E est la totalité vide, le produit cartésien de E par F est vide, il y a une seule application dans F, celle dont le graphe est la totalité vide.

Dans l'autre cas dégénéré où F est vide mais E non vide, alors l'unique sous ensemble de E\times F, la totalité vide, ne définit pas d'application : l'existence d'une image pour tout élément de E ne pourra jamais être vérifiée. Par conséquent ∅E = ∅ si E ≠ ∅.

Opération sur les applications

EE' et FF' et GG'.
f\circ g(x)= f(g(x))

Si le graphe de f est Gf et le graphe de g est Gg, le graphe de f\circ g est :

G_{f\circ g}=\{(x,z)\in E_1\times E_3 \mid\exists y\in E_2,(x,y)\in G_g\wedge (y,z)\in G_f\}.

Injectivité et surjectivité

Voir les articles injection, surjection et bijection
\forall x_1,x_2\in E \left[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\right].
ou encore par contraposée :
\forall x_1,x_2\in E \left[ x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\right].
La composée de deux injections est une injection et , inversement, si pour une certaine fonction g, g o f est une injection, alors f est une injection.
 \forall y \in F , \exists x \in E,\  f (x) = y .
En d'autres termes, f est surjective ssi son ensemble image est la totalité d'arrivée tout entier.
La composée de deux surjections est une surjection et , inversement, si g\circ f est une surjection, alors g est une surjection.
La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut uniquement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Application réciproque

Application réciproque et relation binaire

On la note f − 1. Son graphe est le symétrique du graphe de f, c'est-à-dire que si G est le graphe de f, le graphe de f − 1 est { (y, x) | (x, y) ∈ G}. Dans le cas où E = F = R, la totalité des nombres réels, le graphe de f − 1 est , dans le plan R², le symétrique de celui de f comparé à la première bissectrice. Ainsi la fonction des réels positifs dans eux-mêmes qui à x associe x² est une bijection, sa réciproque est la racine carrée, et un graphe de l'une se déduit d l'autre par symétrie comparé à la droite d'équation y=x.

Dans le cas par exemple d'une fonction numérique, lorsque on peut parler de l'inverse d'un élément a de F, ce dernier peut s'écrire a-1. Dans ce cas f (x) − 1 sert à désigner l'inverse de l'élément f (x) . Il s'agit de la fonction inverse 1/f (si elle existe). La notation f − 1 est réservée à la bijection réciproque de f (si elle existe).

Décomposition canonique

On nomme relation binaire associée canoniquement à l'application f la correspondance \mathcal R définie dans E par :

«x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f»

Cette relation est toujours symétrique et transitive, du fait de l'unicité de l'image, et est aussi réflexive du fait de son existence, c'est par conséquent une relation d'équivalence.

Nous pouvons alors définir la totalité quotient E/ \mathcal R et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x de E sa classe d'équivalence par  \mathcal R, qui n'est autre que f − 1 ({f (x) }) , ensemble des antécédents de f (x) .

Considérons alors la correspondance i de E/ \mathcal R dans Fdéfinie par :

«A est en relation avec y ssi A est la totalité des antécédents de y par f

Cette correspondance est une injection, l'injection canonique associée à l'application f. On montre facilement que f=i\circ s.

En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :

Théorie des ensembles

La notion de fonction n'est pas primitive dans les théories des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Frænkel, et se définit grâce aux notions de couple et de produit cartésien, qui ne sont pas non plus primitives. La notion peut se développer dans la théorie de Zermelo (sans l'axiome de l'infini), avec l'axiome d'extensionnalité, l'axiome de la paire, l'axiome de la réunion, l'axiome de la totalité des parties et le schéma d'axiomes de compréhension. On a eu besoin en une occasion, pour montrer en toute généralité l'existence d'une réciproque à droite d'une fonction surjective, de l'axiome du choix.

Il arrive fréquemment en théorie des ensembles qu'une fonction soit identifiée à ce qu'on a nommé auparavant son graphe. C'est-à-dire qu'une fonction est définie comme un ensemble de couples vérifiant les propriétés d'existence et d'unicité de l'image, dont on vérifie aisément qu'elles ne mettent pas véritablement en jeu les ensembles de départ et d'arrivée, c'est-à-dire qu'avec cette définition, G est une fonction lorsque c'est un ensemble de couples vérifiant la propriété d'unicité :

Unicité. ∀ xyy'G et (x, y') ∈ G] ⇒ y = y').

La totalité de départ de la fonction est la totalité des premières projections de G, qui se définit par compréhension, tout comme l'image de la fonction qui est la totalité des secondes projections de G (voir l'article produit cartésien pour des détails dépendant de la représentation des couples). Il n'y a plus d'ensemble d'arrivée intrinsèque, c'est-à-dire que f est une fonction de E dans F devient une propriété de f : E est la totalité des premières projections de f, et la totalité image, ensemble des secondes projections, est inclus dans F. L'injectivité est une propriété qui ne dépend que du graphe de la fonction. Par contre, dans ce contexte, la surjectivité ou la bijectivité deviennent une propriété de f et de la totalité d'arrivée choisi (f est surjective de E dans F).

On peut avoir à s'intéresser aux classes fonctionnelles, qui sont des classes de couples vérifiant les deux propriétés indiquées en début de paragraphe, mais portant sur une classe au lieu de la totalité G. Le schéma d'axiomes de remplacement, qui complète la théorie des ensembles de Zermelo pour donner celle de Zermelo-Frænkel, décrit que l'image d'un ensemble par une classe fonctionnelle, est un ensemble, et par conséquent cette classe fonctionnelle est une fonction (comme ensemble de couples).

Notes et références

  1. Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] p 33

Voir aussi

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