Anneau Z/nZ

En mathématiques, et surtout en algèbre, Z /n Z est un cas spécifique d'anneau.



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Arithmétique modulaire - Anneau

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  • est un anneau si : 1) (A, +) est un groupe commutatif, c'est-`a-dire :... 2) La totalité Mn (R) des matrices carrées d'ordre n et `a cœfficients réels est un anneau pour.... Théor`eme 6.12 : L'anneau Z/nZ est int`egre ⇔ n est premier.... (source : math.sciences.univ-nantes)

En mathématiques, et surtout en algèbre, Z/nZ est un cas spécifique d'anneau.

Tout anneau unitaire contient soit un sous-anneau isomorphe à Z/nZ soit à Z l'anneau des entiers.

Cet anneau joue un rôle spécifique en arithmétique, il est en effet l'outil de base de l'arithmétique modulaire.

L'article Congruence sur les entiers traite le même sujet avec une approche plus didactique et moins exhaustive, alors que l'article Arithmétique modulaire traite de l'histoire de ce concept, des outils utilisés mais aussi de ses applications.

Construction de Z/nZ

Idéaux de Z

Article détaillé : Idéal.

La division euclidienne dans Z montre que cet ensemble est un anneau euclidien, en conséquence Z est un anneau principal. Cela veut dire que pour tout idéal I de Z, il existe un entier n tel que I est égal à nZ. Comme les idéaux nZ et -nZ sont confondus, il est toujours envisageable de choisir n positif. Dans toute la suite de l'article n sert à désigner un entier positif.

Anneau quotient

Article détaillé : Anneau quotient.

La construction de Z/nZ correspond à la construction générale des anneaux quotients. Ici la relation d'équivalence correspond à la classique congruence sur les entiers. Un élément de Z/nZ est la classe des éléments ayant tous le même reste par la division euclidienne par n.

Un élément est identifié par un membre de sa classe, fréquemment l'entier compris entre 0 et n - 1. Il est quelquefois noté ou, ainsi dans Z/6Z, sert à désigner la classe contenant les éléments 2, 8, 14 etc... Lorsqu'il n'existe pas d'ambigüité, on utilise simplement la lettre a.

Propriétés

Propriétés élémentaires

Article détaillé : Anneau (mathématiques) .

La théorie des anneaux permet directement de démontrer certaines propriétés de l'anneau.

  • L'anneau Z/nZ est unitaire.

C'est une conséquence directe du fait que Z l'est .

  • L'anneau Z/nZ est principal et de Bézout.

Un anneau est principal si et uniquement si tous ses ideaux sont principaux. Si un anneau est principal, son quotient par un parfait est aussi principal, or Z est un anneau principal. En pratique et comme pour Z, l'ensemble des sous-groupes additifs et l'ensemble des sous-anneaux sont aussi des idéaux principaux. Si m est un diviseur de n alors il existe un unique ideal de Z/nZ isomorphe à Z/mZ, ce résultat est une conséquence directe de la troisième proposition du paragraphe Théorème essentiel de l'article groupe cyclique.

Un anneau est dit de Bézout si et uniquement si pour tout élément a et b n'ayant comme diviseurs communs que les éléments inversibles, il existe deux éléments α et β tel que α. a + β. b = 1. Z/nZ est un anneau de Bézout car tout anneau principal l'est .

Si n n'est pas premier, alors l'anneau Z/nZ n'est pas intègre, il n'est par conséquent ni euclidien ni factoriel.

Structure additive

Article détaillé : Groupe cyclique.

La structure du groupe (Z/nZ) est celle d'un groupe monogène, c'est-à-dire génèré par un unique élément. Si n est égal à 0 on obtient un groupe isomorphe à Z ainsi qu'à n'importe quel groupe monogène d'ordre illimité.

Si n est différent de 0, alors le groupe est cyclique, sa structure est explicitée dans l'article détaillé.

Théorème chinois

Article détaillé : Théorème des restes chinois.

La logique du théorème chinois s'applique toujours, ainsi les propriétés du paragraphe Théorème chinois de l'article Groupe cyclique s'appliquent toujours. Il suffit pour les vérifier de valider que le morphisme de groupe utilisé est aussi un morphisme d'anneau.

Note : Si u et v ne sont pas premiers entre eux, alors l'anneau produit ne contient pas d'élément d'ordre supérieur au ppcm de u et de v. Cet anneau n'est par conséquent pas isomorphe à l'anneau Z/u. vZ.

Cette proposition entraîne une décomposition unique de Z/nZ en facteurs premiers. Le théorème essentiel de l'arithmétique montre que n se décompose de la manière unique suivante :

n = \prod_{i=1}ˆk p_iˆ{\alpha_i}\;

Ou (pi) est une famille de k nombres premiers tous différents et αi des entiers supérieurs ou égaux à un. Les puissances des nombres premiers du produit sont tous premiers entre eux. Une simple récurrence montre :

  • Z/nZ se décompose de manière unique en un produit de d'anneaux quotients de Z de cardinal une puissance d'un nombre premier.

Cas où Z/nZ est un corps

Article détaillé : Corps (mathématiques) .

En effet, cette proposition est une conséquence directe de l'identité de Bézout. Supposons n premier, alors si a est un entier premier avec n, c'est-à-dire non multiple de n, il existe deux entiers b et c tel que :

 ab + nc = 1\;

Ce qui veut dire que la classe de a est inversible d'inverse la classe de b.

Réciproquement si n n'est pas premier, il existe deux entiers a et b différents de n et de 1 tel que leur produit est égal à n. La classe de a mais aussi la classe de b sont des diviseurs de zéro, ce qui n'existe pas dans un corps.

Caractéristique d'un anneau

Article détaillé : Caractéristique d'un anneau.

Soit A un anneau unitaire, il existe un unique morphisme d'anneau φ de Z dans A qui à 1Z associe 1A. Soit n l'entier positif tel que le noyau de φ soit égal à nZ. La décomposition canonique de φ (cf le paragraphe Morphisme d'anneau de l'article Idéal) montre qu'il existe un sous-anneau de A isomorphe à Z/nZ.

Ainsi, tout anneau unitaire contient un sous-anneau isomorphe soit à Z dans le cas où n est égal à 0, soit à Z/nZ. C'est une des raisons qui rend cette famille d'anneau intéressante.

Groupe des unités

Article détaillé : Groupe des unités.

Le groupe des unités d'un anneau correspond au groupe multiplicatif constitué des éléments inversibles. De tels éléments sont nommés unité.

  • Soit m un entier, sa classe est une unité si et uniquement si m est premier avec n.

Si m est premier avec n alors il est inversible, sinon soit d un diviseur commun différent d'un, soit k l'entier tel que d. k = n, le fait que m. k soit un multiple de n montre que m est un diviseur de zéro et par conséquent est non inversible.

  • L'ordre du groupe des unités est égal à φ (n) si φ sert à désigner la fonction indicatrice d'Euler.

Un élément du groupe additif Z/nZ est générateur si et uniquement s'il est premier avec n, car son ordre est alors égal à n. Or le paragraphe Indicatrice d'Euler de l'article Groupe cyclique montre que le nombre d'éléments générateurs est égal à φ (n).

Cas où n est premier

Article détaillé : exposant d'un groupe.

Dans le cas où n est premier c'est-à-dire si l'anneau est un corps, la structure est la suivante :

  • Si n est un nombre premier, le groupe des unités du corps Z/nZ est un groupe cyclique d'ordre n - 1.

En effet, tout élément autre que celui nul est inversible, l'ordre du groupe multiplicatif est par conséquent n - 1. Le groupe multiplicatif est naturellement fini, il admet un exposant e, l'exposant est le plus petit commun multiple des ordres des différents éléments du groupe multiplicatif. Considérons le polynôme de Z/nZ[X] suivant : Xe - 1. Il admet pour racines l'ensemble des éléments du groupe multiplicatif par conséquent n - 1 racines différentes. Or tout polynôme à cœfficients dans un corps possède un degré supérieur ou égal à son nombre de racines. On en déduit que e est supérieur ou égal à n - 1. Le théorème de Lagrange, qui a pour corolaire le fait que l'ordre d'un élément est un diviseur de l'ordre du groupe, montre que e est égal à n - 1.

Pour conclure il suffit de constater que tout groupe abélien fini possède un élément d'ordre l'exposant, cette propriété est démontrée dans l'article détaillé. Le groupe multiplicatif possède un élément d'ordre le cardinal du groupe et qui est par conséquent primitif, ce qui montre que le groupe est cyclique et termine la démonstration.

Remarque : un raisonnement de cette nature montre que tout groupe multiplicatif fini d'un corps commutatif est aussi cyclique.

Cas où n n'est pas premier

Dans le cas où n n'est pas premier, la structure est naturellement celle d'un groupe abélien fini elle correspond par conséquent à un produit de groupes cycliques selon le théorème de Kronecker. La structure est plus complexe que celle du cas précédent, plusieurs propositions sont nécessaires pour l'expliciter.

  • Soit n et m deux entiers premiers entre eux, le groupe des unités de Z/n. mZ est isomorphe au produit direct des groupes des unités de Z/nZ et de Z/mZ.

C'est une conséquence du théorème chinois.

Le théorème essentiel de l'arithmétique limite alors l'étude au cas ou n est égal à pr avec p un nombre premier et r un entier strictement positif. Deux configurations se présentent :

  • Si p est égal à deux et r supérieur ou égal à trois, le groupe des unités est le produit direct d'un groupe d'ordre deux génèré par la classe de -1 et d'un groupe cyclique génèré par la classe de 5.
  • Si p est différent de deux, alors le groupe des unités est cyclique.

Tous les cas ne sont pas traités, il reste celui ou p est égal à deux et r est égal à un ou deux. Cependant ces cas sont triviaux, le groupe contient un ou deux éléments et donc est cyclique.

Voir aussi

Liens externes

Références

Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808)  [détail des éditions]

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