Anneau principal

Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique de la divisibilité. Ce sont les anneaux intègres, commutatifs...



Catégories :

Anneau

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... \bullet Un anneau principal est par conséquent commutatif, non réduit à \{0\}, sans diviseur de 0 ; et tout parfait de cet anneau est principal.... (source : les-mathematiques)
  • Montrer que tout corps est un anneau principal (i. e. qu'il est int`egre et que tout... 22] Montrer que l'anneau Z[i] des entiers de Gauss est principal.... (source : www-math.unice)
  • Module sur un anneau/Module sur un anneau principal est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez aider le projet Wikiversité en l'perfectionnant.... (source : fr.wikiversity)

Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique de la divisibilité. Ce sont les anneaux intègres, commutatifs et unitaires non nuls auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème essentiel de l'arithmétique.

Définitions

Un anneau A est dit unitaire s'il admet un élément neutre pour la multiplication. Il est dit intègre si pour tous éléments a et b de A tels que a. b soit égal à zéro, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que a. b = a. c (resp. b. a = c. a), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est par conséquent toujours valable. Enfin l'anneau A est dit commutatif si, pour tous éléments a et b de A, a. b = b. a. Dans toute la suite de l'article, A sert à désigner un anneau commutatif unitaire intègre.

Un idéal J est un sous-groupe de A stable par multiplication de n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, a. j l'est aussi, ou encore a. J est inclus dans J. L'idéal J est dit principal s'il se compose des multiples d'un élément de l'anneau.

  • Un parfait J de l'anneau A est dit principal si et uniquement s'il existe un élément a de A tel que J est égal à a. A.
  • Un anneau commutatif unitaire et intègre est dit principal si et uniquement si tous ses idéaux sont principaux. [1]

Exemples et contre exemples

Corps

Article détaillé : Corps (mathématiques) .

Les corps sont des anneaux principaux. En effet, les deux seuls idéaux sont les idéaux triviaux génèrés par les éléments neutres de l'addition, qui correspond à l'idéal réduit à un élément, mais aussi celle de la multiplication, qui correspond à l'anneau entier. Par contre, l'étude d'une telle structure n'utilise pas cette propriété, car les seuls idéaux sont triviaux.

Pour les anneaux finis, les seuls anneaux intègres sont les corps. En effet, si l'anneau A est fini et si a est un élément non nul de A, alors l'application de A dans A qui à x associe a. x est injective. Une application injective d'un ensemble de cardinal fini dans lui-même est surjective, il existe par conséquent un élément b tel que a. b = 1. Comme l'anneau est commutatif, a. b = b. a = 1, ce qui montre que a est inversible et par conséquent que A est un corps.

Anneau euclidien

Article détaillé : Anneau euclidien.

Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf l'article détaillé) . Des exemples de cette nature sont donnés par Z, la totalité des entiers relatifs ou encore la totalité des polynômes à cœfficients dans un corps, par exemple celui des rationnels, réels ou complexes.

Tous les anneaux principaux ne sont pas euclidiens :

  • Soit ω le nombre complexe défini par ω = 1/2 (1 + i√19), où i permet de désigner l'unité imaginaire, le plus petit anneau unitaire Z[ω] du corps des nombres complexes contenant ω est principal mais n'est pas euclidien. [2]

Anneau d'entiers

Article détaillé : Entier quadratique.

Un corps de nombres K est un sous-corps de C, la totalité des complexes, de dimension finie comme espace vectoriel sur Q la totalité des rationnels. Sa fermeture intégrale est la totalité des éléments de K admettant un polynôme minimal à cœfficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs. Un tel ensemble forme un anneau.

Si le corps est quadratique, c'est-à-dire si tout élément s'exprime comme la combinaison linéaire sur Q de 1 et d'une racine carré d'un nombre rationnel sans facteur carré, l'anneau associé peut être principal. C'est le cas par exemple pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet.

Les anneaux principaux de cette nature sont assez rares. Ceux qui ne sont pas inclus dans R, la totalité des réels, sont tous connus. Ce résultat fait l'objet d'un théorème dit de Stark-Heegner. La question de savoir s'il existe une illimitété de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers soit principal est toujours ouverte (c'est-à-dire que la réponse n'est pas connue).

En théorie des nombres, un autre type d'anneau principal est l'anneau à valuation discrète. Ce type d'anneau est un cas spécifique d'anneau local, c'est-à-dire d'anneau n'ayant qu'un unique idéal premier. Si un anneau d'entiers algébriques est de Dedekind alors l'anneau situé d'un parfait premier est local et principal.

Exemple issu de l'analyse

Les anneaux principaux ne se trouvent pas seulement en algèbre, l'exemple suivant[3] est utilisé en analyse complexe :

  • Soit X un espace compact de C (la totalité des complexes) et A l'anneau des fonctions holomorphes de X dans C, (c'est-à-dire qui sont holomorphes sur un voisinage ouvert de X), l'anneau A est principal.

Contre-exemples

Les anneaux commutatifs unitaires intègres non principaux sont nombreux.

Une première famille de contre-exemples est apportée par les anneaux de polynômes. Si A n'est pas un corps A[X] n'est pas un anneau principal (cf l'article Anneau euclidien) . En effet, si a est un élément non inversible de A, l'idéal des polynômes ayant pour constante un multiple de a n'est pas principal. L'anneau des polynômes A[X, Y] n'est jamais principal, même si A est un corps. Il suffit pour s'en rendre compte de considérer le plus petit parfait contenant les polynômes X et Y, un tel parfait n'est pas principal.

Les entiers algébriques fournissent des anneaux non principaux. L'anneau Z[i√5] est un contre exemple étudié dans l'article Entier quadratique.

Propriétés

Arithmétique

L'arithmétique élémentaire sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clé. A l'exception de la division euclidienne qui n'est pas définie dans le cas général d'un anneau principal, ces grands théorèmes s'appliquent toujours dans ce contexte. Ces théorème permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à l'ensemble des anneaux principaux.

Le théorème de Bachet-Bézout est toujours vérifié :

  • Si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments du groupe tel que a. u + b. v = 1.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal génèré par a et b est principal, et tout générateur de cet parfait est diviseur commun à a et b, par conséquent est inversible et génère l'anneau tout entier. Surtout, l'élément 1 appartient à cet parfait, ce qui entraîne la relation.

Une fois établies les définitions de pgcd et ppcm, l'identité de Bézout prend une forme légèrement différente : l'équation diophantienne ax+by = c admet des solutions si et uniquement si c est un multiple du pgcd de a et de b.

Le lemme d'Euclide aussi est vérifié :

  • Soit a, b et c trois éléments de A tel que a divise b. c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c.

En effet, l'identité de Bézout assure l'existence de deux éléments de A, u et v tel que a. u + b. v = 1. La multiplication par c des deux membres de cette égalité permet d'écrire (i) a. u. c + b. c. v = c. Qui plus est , a est un diviseur de b. c, ce qui se traduit par l'existence d'un élément d de A tel que : (ii) b. c = a. d. Les égalités (i) et (ii) démontre l'égalité suivante : a. (u. c + v. d) = c. Ceci montre que a divise c et le lemme d'Euclide est bien vérifié.

Enfin, le théorème essentiel de l'arithmétique est vérifié :

  • Un anneau principal est anneau factoriel, c'est-à-dire que tout élément de l'anneau de décompose de manière unique (aux facteurs inversibles près) en un produit de facteurs irréductibles.

Une unité sert à désigner un élément qui possède un inverse dans l'anneau. Un facteur irréductible de l'anneau est un élément p tel que chacune de ses décompositions en produit de deux facteurs contienne au moins une unité. Ainsi dans Z, -2 est irréductible car toute décomposition en un produit de deux facteurs contient obligatoirement 1 ou -1 comme facteur. La décomposition est unique à un facteur inversible près. On remarque en effet qu'il existe plusieurs décompositions, par exemple de 6, 6 = 2 x 3 = (-2) x (-3). Par contre, ces deux décompositions sont les mêmes, à un facteur inversible près. Une démonstration est présentée dans l'article Anneau factoriel.

Idéal

  • Un élément a est premier si et uniquement si A/a. A est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l'anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de a. A. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal a. A est dit maximal, c'est-à-dire que les seuls idéaux contenant a. A sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/a. A est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que b. c = a et la classe de b est un diviseur de zéro. L'unique diviseur de zéro d'un corps est zéro. Ceci montre que b est dans l'idéal a. A et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier, on en déduit la proposition :

  • Les idéaux premiers de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés nœthériennes

Article détaillé : anneau nœthérien.

Un anneau principal est nœthérien, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété suivante :

  • Toute suite (Jn) d'idéaux croissante est stable à partir d'un certain rang.

En effet, l'union J de l'ensemble des idéaux de la suite (Jn) est un parfait car la suite est emboitée. Soit a un générateur de J, il existe une valeur μ tel que Jμ contient a. On en déduit les inclusions suivantes :

\forall n \ge \mu \quad \mathfrak J \subset \mathfrak J_{\mu} \subset \mathfrak J_n \subset \mathfrak J

Ces inclusions montrent qu'à partir du rang μ, la suite est stationnaire égale à Jμ.

La dernière propriété possède quelques corollaires, les deux suivants sont vrais pour l'ensemble des anneaux, mais impose l'usage d'une forme plus élaborée de l'axiome du choix pour une démonstration du cas général :

  • Tout parfait différent de l'anneau est inclus dans un parfait maximal.

En effet, si un parfait n'est pas inclus dans un parfait maximal, il est envisageable de construire une suite croissante qui n'est jamais stationnaire et l'anneau n'est pas principal.

  • Un élément de A est inversible si et uniquement s'il n'est inclus dans aucun parfait maximal.

Soit u un élément inversible, l'unique parfait contenant u contient l'anneau A tout entier, u n'est en conséquence pas inclus dans un parfait maximal.

Réciproquement soit a un élément de A non inversible, la proposition précédente montre que a. A est inclus dans un parfait maximal, ce qui sert à conclure.

Anneau de Dedekind

Article détaillé : Anneau de Dedekind.

Il existe un cas spécifique d'anneau nœthérien important en théorie des nombres, l'anneau de Dedekind. Un anneau A de Dedekind est un anneau commutatif unitaire intègre et nœthérien tel que tout parfait premier est maximal et tel que la clôture algébrique de A est égal à l'anneau lui-même. Comme A est un anneau commutatif unitaire intègre il est envisageable de construire son corps des fractions K. Un élément de K est dit entier sur A si et uniquement si son polynôme minimal est à cœfficient dans A. la totalité des entiers de K sur A forme un anneau B. Si A est principal alors B est égal à A et on dit que A est totalement clos[4]. Un anneau commutatif unitaire intègre est dit de Dedekind s'il est nœthérien, si tout parfait premier est maximal et si l'anneau est totalement clos.

  • Un anneau principal est totalement clos.

On en déduit la proposition suivante :

  • Un anneau principal est de Dedekind.

Module sur un anneau principal

Un module sur un anneau est aux anneaux ce qu'un espace vectoriel est à un corps. Un module sur un anneau A commutatif unitaire et intègre est un groupe abélien disposant d'une multiplication externe pourvue des mêmes propriétés que celle d'un espace vectoriel.

  • Un module est dit libre s'il admet une base. Il est dit de type fini s'il admet une famille génératrice de cardinal fini.

La situation n'est pas la même que celle d'un espace vectoriel. Un module de type fini n'admet pas obligatoirement une base. Par exemple un groupe abélien fini G peut être aussi vu comme un Z module si z est un entier relatif et m un élément du module, z. m est égal à l'itérée m + m +... + m z fois si z est positif et l'inverse de l'itéré -z fois si z est négatif. Toute famille finie (gi) de G admet une relation linéaire non triviale, si e est l'exposant du groupe G, e. g1 + e. g2 +... est égal à zéro. Cette configuration est étudiée dans l'article groupe abélien de type fini.

Dans le cas d'un anneau principal A, la configuration est proche de celle des espaces vectoriels :

  • Soit M un A module libre de type fini et de rang m, tout sous A module N de M admet une base de cardinal inférieur ou égal à m. [5]

Une corollaire immédiat est le suivant :

  • Un module libre de type fini sur un anneau principal est nœthérien.

Dans le cas d'un anneau euclidien, il existe un algorithme effectif servant à déterminer une base. Il se trouve dans l'article Théorème des facteurs invariants.

Généralisations

Les anneaux principaux disposent de l'ensemble des théorèmes qui fondent l'arithmétique sur la totalité des entiers relatifs. Par contre, il existe de nombreux anneaux commutatifs unitaires et intègres qui ne sont pas principaux.

Géométrie algébrique

Article détaillé : Géométrie algébrique.

La géométrie algébrique étudie essentiellement les variétés algébriques, c'est-à-dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps K définies comme les racines d'un parfait de l'anneau des polynômes à n indéterminées. Ainsi la sphère de R3 est définie comme les racines des polynômes à cœfficients réels multiple de X2 + Y2 + Z2 - 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un anneau principal.

Un anneau factoriel est par définition un anneau où un analogue du théorème essentiel de l'arithmétique est vérifié. Le lemme d'Euclide est vrai dans un tel anneau, ce n'est par contre pas le cas du théorème de Bezout, qui caractérise en fait les anneaux principaux parmi les anneaux factoriels. Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées à cœfficients dans un corps sont par exemple factoriels mais pas principaux.

Théorie algébrique des nombres

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

La solution utilisée pour les anneaux de polynômes n'est pas forcément pertinente. Les anneaux d'entiers algébriques, par exemple, ne sont pas forcément factoriels. Une autre approche permet néanmoins de retrouver une arithmétique analogue.

Les anneaux d'entiers algébriques sur un corps de nombres c'est-à-dire des extensions finies des nombres rationnels possèdent des idéaux non principaux. Par contre, il suffit d'une famille finie d'éléments pour générer tout parfait. Plus exactement, tout parfait d'un anneau d'entiers algébriques sur un corps de nombre A est un sous-A module disposant d'une base de cardinal égal à la dimension du corps de nombres, reconnu comme un Q espace vectoriel. Un anneau A qui ne possède que des idéaux de type fini (c'est-à-dire génèré par une famille finie d'éléments, si l'idéal est reconnu comme un A module) est dit nœthérien. La théorie des anneaux nœthériens dépasse celle de l'algèbre commutative, contexte des anneaux principaux.

Les bons anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire ceux qui sont totalement clôt, disposent de propriétés supplémentaires. Ils vérifient les axiomes caractérisant la structure dite de Dedekind. Ces propriétés permettent d'établir une arithmétique toujours analogue à celle des entiers relatifs. Les nombres premiers sont remplacés par les idéaux premiers et tout parfait admet une unique décomposition en idéaux premiers, résultat qui remplace le théorème essentiel de l'arithmétique perdu pour cette configuration.

Notes et références

  1. Cette définition est par exemple celle utilisé dans le site Idéaux, anneaux, quotients des mathématiques. net
  2. Cet exemple est développé p 53-55 dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Éditions de l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles, 1981 (ISBN 2-85929-011-7)  
  3. Cet exemple est tiré de la référence suivante, page 81 : Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  4. Cette définition est par exemple celle du site Dimatu Dictionnaire Mathématiques Universel
  5. La démonstration est issue de la référence suivante, page 1 et 2 Modules de type fini sur un anneau principal par A. Ducros de l'Université de Rennes I

Liens externes

Références

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_principal.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu