Anneau intègre

Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est, en mathématiques et surtout dans la théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.



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Anneau - Zéro

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Un anneau intègre est un anneau commutatif non nul sans diviseurs de zéro. Voir démonstration de l'équivalence. Théorème : Soit (A, +, *) un anneau intègre ;... (source : folium.eu)
  • Un anneau intègre est commutatif (voir définition 9). Pour æ A, a*0A, utiliser A, x >-* ax. Solution Soit a non nul dans A et A, ... (source : books.google)
  • Un anneau intègre est un anneau qui ne contient pas de diviseur de 0. Définition :... Un parfait F d'un anneau commutatif A est une partie de A telle que... (source : almacha)

Un anneau intègre ou anneau d'intégrité[1] est , en mathématiques et surtout dans la théorie des anneaux, un anneau (unitaire) qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.

Définition

Un anneau (A,+,\times) est dit intègre, s'il est non réduit à l'élément neutre de la première loi et ne possède aucun diviseur de zéro, c'est-à-dire que tout élément non nul de A est régulier pour la seconde loi notée multiplicativement, soit toujours :

\forall (a, b) \in Aˆ2,\  a\times b = 0_A \Longrightarrow (a=0_A \quad \mathrm{ou}\quad b=0_A)

Il suit de la définition que l'anneau nul n'est pas intègre.

En pratique, travailler dans un anneau intègre sert à résoudre des équations produit-nul.

Si un anneau A est intègre, la totalité A-{0} des éléments non nuls forme une partie multiplicative de A, c'est-à-dire stable par la multiplication de A. Cette propriété sert à définir le procédé de localisation sur un anneau. Si l'anneau A est unitaire, A-{0} est un monoïde.

Nicolas Bourbaki[2] et de nombreux auteurs imposent dans leur définition à un anneau intègre d'être commutatif, mais ne l'imposent pas pour la définition d'un corps, cela est justifié par les propriétés qu'ont les anneaux intègres commutatifs.

Propriétés des anneaux commutatifs intègres

Article détaillé : Corps des fractions.

Exemples

Notes et références

  1. Godement, Algèbre, ed. Hermann
  2. N. Bourbaki Algèbre, 1970, chapitre 1, page I. 110

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