Anneau factoriel

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas spécifique d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique pour une telle structure.



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  • Si A est un anneau commutatif 2, on dispose de l'anneau des polynômes... homomorphisme d'anneaux de A vers B et de n éléments b1, ..., bn de B (les..... A ont cette propriété (on dit qu'un anneau factoriel est totalement... (source : math.u-psud)

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas spécifique d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Un élément irréductible est un élément qui, dans une décomposition en produit de deux facteurs, contient toujours un élément inversible. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers, -2 est irréductible. La décomposition en facteurs irréductibles est unique dans un anneau factoriel, aux éléments inversibles près.

Les exemples d'anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal, c'est-à-dire tel que tout idéal est principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à cœfficients dans un anneau factoriel est factoriel mais n'est pas principal si l'anneau n'est pas un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.

Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est envisageable de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.

Définitions

La notion d'anneau factoriel s'appuie sur les deux définitions :

  • Un élément a non nul d'un anneau commutatif unitaire et intègre est dit irréductible si et uniquement s'il n'est pas inversible et si toute décomposition en deux facteurs b et c de a, a = b. c comporte un élément inversible (soit b soit c).
  • Deux éléments a et b d'un anneau commutatif unitaire et intègre sont dit associés si et uniquement s'il existe un élément inversible u tel que a = u. b. Cette relation est une relation d'équivalence.

La définition la plus courante d'anneau factoriel est :

  • Un anneau commutatif unitaire intègre A est dit factoriel si et uniquement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Pour tout élément a non nul de A, il existe un élément inversible u et une suite finie p1, …, pn d'éléments irréductibles de A tel que :

a = u p_1\cdots p_n\;

(2) La décomposition est unique à permutation près des pi ainsi qu'à produit par des éléments inversibles près.

Exemple : La totalité Z des entiers relatifs est un anneau factoriel. Ses éléments inversibles sont -1 et 1. Ses éléments irréductibles sont les nombres premiers et leurs opposés. Tout élément non nul de Z se décompose en un produit constitué d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. A titre d'exemple, -28 se décompose en -1.2.2.7. On pourrait aussi décomposer -28 en 1. (-2). 2.7 mais cette dernière décomposition est reconnue comme la même que la première, car elle résulte du produit de la première par des éléments inversibles.


Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles spécifiques, ainsi un élément irréductible et positif de Z est nommé nombre premier. Dans K[X] les éléments spécifiques sont les polynômes irréductibles unitaires, c'est-à-dire dont le cœfficient du monôme dominant est égal à un. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible spécifique. Cette approche sert à normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité ne soit plus définie aux éléments inversibles près.

Il est toujours envisageable d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une famille (pi) d'éléments irréductibles tel que si i est différent de j alors pi n'est pas associé à pj et si π est un élément irréductible il existe un indice i tel que π est associé à pi. Le lemme de Zorn montre qu'il est toujours envisageable de trouver une famille maximale d'éléments irréductibles deux à deux non associés. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article pour ne pas alourdir les énoncées. Elle n'est pas indispensable, cependant les unicités s'expriment alors aux éléments inversibles près. Un élément a d'un anneau factoriel s'écrit :

a =u \prod_{i\in I}p_iˆ{v_{p_i}(a)}

La fonction de A dans N, la totalité des entiers naturels, qui à a associe vpi (a) se nomme une valuation p-adique. La valeur vpi (a) est aussi nommée ordre de multiplicité de pi dans a.

Dans la suite de l'article A sert à désigner un anneau factoriel et (pi) une telle famille d'éléments irréductibles (sauf mention explicite contraire).

Motivation

L'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs permet la démonstration de nombreux théorèmes. Les démonstrations utilisent le fait que cet anneau est euclidien par conséquent principal. Par contre, de nombreux anneaux ne le sont pas, par exemple celui des polynômes à cœfficients dans les entiers relatifs ou encore les polynômes en plusieurs indéterminées sur un corps commutatif.

Ce dernier exemple est important, les variétés algébriques sont définies comme les racines d'un parfait de polynômes à plusieurs variables. Ainsi la sphère réelle est définie comme les racines communes des polynômes à trois indéterminées multiples de X2 + Y2 + Z2 - 1. L'anneau des fonctions polynomiales définies sur la sphère n'est ni euclidien ni principal. Par contre, il est factoriel.

Sur un anneau factoriel, certains théorèmes fondamentaux des anneaux principaux restent vrais. Ainsi, le lemme d'Euclide, les propriétés des plus petits communs multiples et des plus grands communs diviseur ou encore le théorème essentiel de l'arithmétique restent valables (ce dernier est vérifié par définition).

Tous ne s'appliquent plus, ainsi un parfait premier n'est pas forcément maximal. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à cœfficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs, 2Z[X] n'est pas maximal et Z[X] / 2Z[X] n'est pas un corps car la classe de X n'est pas inversible. L'identité de Bézout n'est pas forcément vérifiée, dans Z[X] les éléments 2 et X n'ont pas de facteur commun, néenmoins l'idéal génèré par 2 et X n'est pas l'anneau tout entier.

Exemples et contre-exemples

Soit p l'application de passage au quotient. p (X2) admet deux décompositions différentes en facteurs irréductibles : on a p (X2) = p (X) p (X) mais également p (X2) = p (Y) p (Z)

Propriétés

Premières propriétés

  • Un anneau commutatif unitaire et intègre est factoriel si et uniquement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
(1) Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang.
(2) Tout parfait génèré par un élément irréductible est premier. [1]

Cette caractéristique est quelquefois plus simple pour établir le caractère factoriel d'un anneau. La proposition suivante en est un exemple :

  • Tout anneau principal est factoriel.

En effet, un anneau principal est nœthérien, la première propriété est ainsi vérifiée. De plus si p est irréductible, l'idéal des multiples de p est premier et maximal. Ces propriétés sont démontrées dans l'article Anneau principal.

  • Tout anneau factoriel est totalement clos.

Comme un anneau factoriel A est commutatif unitaire intègre, il est envisageable de considérer son corps des fractions. Un élément de K est dit entier sur A si son polynôme minimal est à cœfficients dans A. L'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique montre que la totalité B des entiers algébriques de K sur A forme un anneau. Si B est égal à A, alors A est dit totalement clos. La démonstration est semblable à celle présentée dans l'article Anneau principal.

  • Soit π est un élément irréductible de A, si π divise le produit de deux éléments a et b, alors il divise soit a soit b.

Ce résultat est connu sous le nom de lemme d'Euclide ou quelquefois lemme de Gauss. Il est la conséquence directe de l'unicité de la décomposition de a. b en facteurs irréductibles.

Diviseur et multiple communs

  • Soit (an) une suite d'éléments de A, le plus grand commun diviseur de la suite est le produit de l'ensemble des facteurs pi présents dans la décomposition en facteur irréductible de chaque an avec le plus petit ordre de multiplicité trouvée dans la décomposition des an.
  • Le plus petit commun multiple de la famille (an), s'il existe, est le produit des facteurs pi présent dans une au moins des décompositions en facteurs irréductibles d'un élément an avec le plus grand ordre de multiplicité. Si la famille des indices est finie, le plus petit commun multiple existe toujours.
  • Une famille d'éléments de A est dite première entre elle si et uniquement si le plus grand diviseur commun à la famille est égal à un. Dans ce cas, les éléments de la famille sont dit premiers entre eux dans leur ensemble.

Ces définitions généralisent les notions de plus petit commun multiple et plus grand commun diviseur. Dans ce contexte, certaines des propriétés vraies sur un anneau principal s'appliquent toujours, d'autres non. La relation d'ordre utilisée ici est celle induite par l'inclusion des idéaux. L'élément a est dit'plus petit qu'un élément b si et uniquement si l'idéal génèré par a contient l'idéal génèré par b.

  • Soient (an) une famille d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :
\text{pgcd} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{pgcd} (a_n)\;
  • Soient (an) une famille finie d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :
\text{ppcm} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{ppcm} (a_n)\;
  • Soient (an) une famille finie d'éléments de A premiers entre eux deux à deux, la relation suivante est vérifiée :
\text{ppcm} (a_n)= \prod_n a_n\;
  • Soient a et b deux éléments de A, la propriété suivante est vérifiée, si G permet de désigner le groupe des unités :
\exists u \in G\quad  a\cdot b = u\cdot \text{ppcm} (a,b)\cdot \text{pgcd} (a,b)\;
  • Soit (an) une famille d'éléments de A, le plus petit parfait principal contenant tous les an est l'idéal génèré par le plus grand commun diviseur de la famille (an).

En effet, il suffit de remarquer que tout élément de l'idéal génèré par la famille est multiple du plus grand commun diviseur et si un élément c de A est plus grand que le plus grand commun diviseur, alors il existe un élément ai de la famille qui n'est pas multiple de c. Le plus petit parfait principal contenant l'ensemble des an n'est pas obligatoirement l'idéal génèré par la famille, car cet parfait n'est pas obligatoirement principal. Ainsi dans Z[X] l'idéal génèré par 2 et X est l'idéal des polynômes admettant une constante multiple de deux, le plus petit parfait principal le contenant est l'idéal entier. Dans un anneau principal, les deux idéaux sont confondus. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Bachet-Bézout.

  • Soit (an) une famille d'éléments de A admettant un plus petit commun multiple, l'intersection des idéaux génèrés par la famille (an) est l'idéal principal génèré par le plus petit commun multiple.
  • Si A est quotienté par la relation d'équivalence R d'association définie dans le paragraphe Définitions, alors la totalité A/R munis des opérateurs pgcd et ppcm forme un treillis.

Anneau des polynômes

Les anneaux de polynômes représentent la première motivation historique pour les anneaux factoriels. Si les cœfficients sont choisi dans un corps commutatif, l'anneau dispose d'une division euclidienne, dans le cas opposé une autre arithmétique apparaît. En 1801 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publie un traité[2] dans lequel il montre que l'anneau des polynômes à cœfficients entiers possède un propriété qui se traduit, en terme moderne, par le fait que cet anneau est factoriel. Une présentation moins générale est proposée dans l'article lemme de Gauss.

Dans ce paragraphe A sert à désigner un anneau factoriel et K son corps des fractions. Il est indispensable pour étudier les polynômes à cœfficients dans un anneau factoriel, d'expliciter quelques définitions :

  • Un polynôme de A[X] est dit primitif si et uniquement si les cœfficients du polynôme sont premiers entre eux dans leur ensemble.
  • Le contenu d'un polynôme P à cœfficients dans K, s'il existe, est un élément a de K tel qu'il existe un polynôme primitif Q de A[X] tel que aQ soit égal à P. Dans cet article, on note cont (P) le contenu de P. [3]

Le contenu d'un polynôme vérifie les propriétés suivantes :

  • Le contenu d'un polynôme est défini à un facteur inversible de A près.
  • Le contenu d'un polynôme P non nul à cœfficients dans K est toujours défini et il existe un polynôme primitif Q, à cœfficients dans A tel que :
P = \text{cont}(P)\cdot Q\;
  • Soit P et Q deux polynômes non nuls à cœfficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à un facteur inversible près :
\text{cont}(P\cdot Q) = \text{cont}(P)\cdot \text{cont}(Q)\;[4]

Le résultat suivant est connu sous le nom de lemme de Gauss dans le cas où A est l'anneau Z des entiers relatifs :

  • Soit P un polynôme non constant à cœfficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et uniquement s'il est primitif et irréductible dans K[X].

Ce lemme sert à démontrer le théorème suivant :

  • L'anneau A[X] est factoriel.

On en déduit immédiatement le corollaire suivant :

  • Soit n un entier strictement positif, l'anneau A[X1, ..., Xn] est factoriel. [5]


Notes et références

Notes

  1. La démonstration proposée s'inspire de celle donnée en page 66 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  2. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques traduction A. -C. -M. Poullet-Delisle Article 43, 1801 traduction 1807 reprit 1989 Editions Jacques Gabay
  3. On trouve ces deux définitions, par exemple sur le site Théorème de permanence de la factorialité (Gauss) par les mathématiques. net. Certains auteurs choisissent de définir seulement le contenu d'un polynôme à cœfficients dans A[X], par exemple p 73 Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  4. La démonstration est inspirée de la page 74 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  5. Les deux dernières démonstrations s'inspirent de : Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808)  [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128)

Liens externes

Références

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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