Algèbre classique / Algèbre élémentaire

L'algèbre élémentaire ou algèbre classique est la branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des opérations algébriques sur les nombres réels ou complexes, et dont l'objectif principal est la résolution d'équations polynomiales.

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Algèbre - Mathématiques élémentaires

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l'algèbre et était conçue pour mesurer des acquis pré- algébriques d'une large... expressions différentes d'un même nombre et l'égalité doit être reconnue.... une expression mathématique (opérations ou équations) un problème classique... (source : restode.cfwb)

L'algèbre élémentaire ou algèbre classique est la branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des opérations algébriques (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) sur les nombres réels ou complexes, et dont l'objectif principal est la résolution d'équations polynomiales.

Le qualificatif d'élémentaire (ou classique) est conçu pour la différencier de l'algèbre générale (ou moderne), qui étudie les structures algébriques (groupes, corps, etc. ) généralisant les notions de nombre et d'opération. Elle se différencie aussi de l'arithmétique élémentaire par l'usage de lettres pour représenter les nombres inconnus.

En ce sens, l'adjectif algébrique peut, suivant les cas, être un synonyme de polynomial (comme dans courbe algébrique) ou l'antonyme d'arithmétique.

Expressions algébriques

Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :

le signe $+$ est utilisé pour marquer l'addition.
le signe $-$ est utilisé pour marquer la soustraction.
les signes $\times$ ou $\cdot$ sont utilisés pour marquer la multiplication. Lorsque la multiplication concerne deux lettres, il est envisageable d'écrire $a b$ au lieu de $a\times b$ .
le signe $\div$ est utilisé pour marquer la division, $a\div b$ pouvant aussi s'écrire $\cfrac{a}{b}$ .

Par exemple :

Le produit d'un nombre $x$ augmenté de 3 par lui-même s'écrit $(x + 3) x$ .
La différence des carrés de deux nombres $a$ et $b$ s'écrit $a 2 - b 2$

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des variables, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression $x 2 + x - 1$ pour $x = 2$ consiste à effectuer le calcul $22 + 2 - 1$ .

Propriétés de l'addition

- est écrit a + b;
- est commutative : a + b = b + a;
- est associative : (a + b) + c = a + (b + c) ;
- a une application réciproque nommée soustraction : (a + b) − b = a, équivaut à additionner un nombre négatif, a − b = a + (−b) ;
- a un élément neutre 0 qui conserve le nombre : a + 0 = a.

Propriétés de la multiplication

- est écrit a × b or a • b;
- est commutative : a × b = b × a;
- est associative : (a × b) × c = a × (b × c) ;
- est abbrevié par la juxtaposition : a × b ≡ ab;
- a un élément neutre 1 qui conserve le nombre : a × 1 = a;
- pour les nombres différents de zero, a une application réciproque nommée division : (ab) /b = a, équivaut à multiplier par son inverse, a/b = a (1/b) ;
- est distributive comparé à l'addition : (a + b) c = ac + bc;

Factorisation et développement

Factoriser une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions ( $A$ , $B$ , ... ) :

$E = A\times B\times \cdots$

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est nommée un facteur.

Développer une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. ( $A$ , $B$ , ... ) :

$E = A + B + \cdots$

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est nommée un terme.

Bibliographie

Ouvrages

Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]
Ahmed Djebbar, L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert/Adapt, 2005, 214 p. (ISBN 2711753816) .
Tour d'horizon de l'algèbre arabe, des origines au XV^e siècle.

Articles d'encyclopédies

(en) Yu. I. Merzlyakov et A. I. Shirshov, «Algebra», dans Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 [texte intégral]
«Algèbre», dans Encyclopédie Larousse, {{{année}}} [texte intégral]
«Algèbre», dans Encyclopédie Microsoft® Encarta® en ligne, 2009 [texte intégral]

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