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1 est l'entier naturel représentant une entité seule. Un fait parfois référence à l'unité, et unitaire est parfois utilisé comme un adjectif dans ce sens.



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Nombre entier

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1
Cardinal Un, Une
Ordinal premier, première
prime (anc. )
1er, 1re
Préfixe grec mono
Préfixe latin uni
Adverbe premièrement
Adverbe d'origine
latine
primo
Multiplicatif d'origine
latine
semel
Propriétés
Facteurs premiers aucun
Autres numérotations
Numération romaine I
Système binaire 1
Système octal 1
Système duodécimal 1
Système hexadécimal 1


1 (un) est l'entier naturel représentant une entité seule. Un fait parfois référence à l'unité, et unitaire est parfois utilisé comme un adjectif dans ce sens. (A titre d'exemple, un segment de longueur unitaire est un segment de longueur 1).

Évolution du glyphe

Évolution du glyphe du chiffre 1

Le glyphe que nous utilisons actuellement dans le monde occidental pour représenter le nombre 1, une ligne verticale, fréquemment avec un petit empattement au sommet et quelques fois une petite ligne horizontale à la base, trouve ses racines chez les brahmanes Hindous. Ceux-ci écrivaient 1 sous forme d'une ligne horizontale (en Chine et au Japon actuellement, c'est la manière dont il est écrit). Les Gupta l'écrivaient comme une ligne incurvée, et les Nagari parfois ajoutaient un petit cercle sur la gauche (tourné d'un quart de tour vers la droite, ceci ressemble au 9 puis devint l'écriture actuelle dans les écrits du Goujerat et du Panjâb). Les Népalais les tournaient aussi vers la droite, mais gardaient le petit cercle. Ceci devint finalement le serif du sommet dans l'écriture moderne, mais la petite ligne horizontale occasionnelle a certainement comme origine la ressemblance avec l'écriture romaine I.

Graphies actuelles

La graphie «1» n'est pas l'unique utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — spécifiquement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes.

Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre Alphabet Chiffre
Amharique
?
Bengalî
?
Birman
Devanāgarī
?
Gujarati
?
Gurmukhî
?
Kannara
Khmer
Arabe
1
Malayalam
Oriya
?
Tamoul
Télougou
Thaï
Tibétain

En mathématiques

Pour tout nombre x :

x \times 1 = 1 \times x = x\, (Ceci exprime le fait que 1 est l'élément neutre pour la multiplication). Comme conséquence de ceci, 1 est un nombre automorphe dans tout dispositif de numération de base quelconque.
\frac{x}{1} = x\, (voir division)
xˆ1 = x\,
1ˆx = 1\,

et pour x\ne 0, xˆ0 = 1\, (voir exponentiation)

x \uparrow\uparrow 1 = x et 1 \uparrow\uparrow x = 1 (voir puissances itérées de Knuth).

En utilisant l'addition ordinaire, nous avons 1 + 1 = 2 ; dépendant de l'interprétation du symbole «+» et du système de numération utilisé, l'expression peut avoir énormément de sens différents.

Un ne peut pas être utilisé comme base d'un système de numération positionnel de manière ordinaire. Parfois les marques de dénombrement sont assimilées à la «base 1» ou système unaire, puisque uniquement une marque (fréquemment un bâton) est indispensable, mais cela ne marche pas de la même façon que le dispositif de numération positionnelle. En liaison avec ceci il n'existe pas de logarithme en base 1, puisque la «fonction exponentielle» de base 1 est la fonction constante 1.

Dans la représentation de Von Neumann des nombres naturels, 1 est défini comme l'ensemble {0}. Cet ensemble possède une cardinalité 1 et un rang héréditaire 1. Les ensembles comme ceci avec un élément unique sont nommés singletons.

Dans un groupe multiplicatif ou monoïde, l'élément neutre est parfois noté «1», mais «e» (issu de l'allemand Einheit, unité) est plus respectant les traditions. Néanmoins, «1» est particulièrement dédié pour l'identité multiplicative d'un anneau. (Cette identité multiplicative est fréquemment nommée «unité». )

Un est sa propre factorielle.

C'est aussi le premier et le deuxième nombre dans les suites de Fibonacci, et le premier nombre largement de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier Livre de suites entières de Sloane ajoutait un 1 d'origine à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces 1 initiaux dans leurs ordre lexicographique. Plus tard, Sloane dans son Encyclopédie des suites entières et sa contrepartie Web, l'Encyclopédie électronique des suites entières, ignora ces 1 initiaux dans leur ordre lexicographique des suites, car de tels 1 initiaux correspondent aux cas triviaux.

Un est le produit vide, quand il est l'élément neutre de la multiplication utilisée.

Un n'est pas aujourd'hui reconnu comme un nombre premier, quoiqu'il soit quelquefois utilisé comme tel, à cause de l'erreur courante concernant la définition de la primalité : ce n'est pas "quand le nombre soit divisible uniquement par un et lui-même" mais bien "quand le nombre ait deux diviseurs différents, un et lui-même" (ce qui permet d'exclure le nombre un, qui n'a qu'un diviseur). D'ailleurs pour les usages de la factorisation et exactement pour le théorème essentiel de l'arithmétique, il est indispensable et/ou suffisant de ne pas voir un comme un facteur premier, ou de le voir comme un facteur implicite qui existe toujours mais qui est non-écrit. Le dernier mathématicien professionnel à publier 1 comme nombre premier était Henri Lebesgue en 1899, quoique Carl Sagan incluait un dans une liste de nombres premiers dans son ouvrage Contact en 1985.

Un est une des trois valeurs envisageables retournées par la fonction de Möbius. En entrant un entier qui est sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers différents, la fonction de Möbius retourne un.

Un est l'unique nombre impair qui soit dans l'image de la fonction indicatrice d'Euler (\varphi(x)=1\, pour x = 1 et x = 2 uniquement).

Par définition, 1 est la norme d'un vecteur unité et de la matrice unité.


Quelques propriétés arithmétiques d'un

Un est son propre carré. En conséquence il est un nombre de Kaprekar. Un est le premier nombre figuré de chaque sorte, telle que les nombres triangulaires, nombres pentagonaux, nombres tétraédriques, nombres pyramidaux hexagonaux, nombres hexagonaux centrés...

Un est un nombre en division harmonique.

Un est l'unique nombre parfait d'ordre 1 (voir nombre parfait multiple).

Un est égal à la somme de ses chiffres dans tout système de numération de base différente, c'est un nombre Harshad complet.

Un est un nombre méandrique, un nombre semi-méandrique et un nombre méandrique ouvert.

Dans la société humaine

Énormément de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Énormément de religions considèrent Dieu comme l'exemple parfait d'unicité. Voir monade pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités.

Quelque chose est unique si c'est l'unique chose de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (particulièrement en publicité), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial.

Dans la langue française, un est l'article indéfini masculin singulier ; le féminin est une.

Un est aussi l'expression de la troisième personne du singulier pour la distinguer d'un groupe («L'un de vous prendra-t-il un café ?)».

En sciences

Un est :

Dans d'autres domaines

Un est :

Voir aussi

Liens externes


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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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